完全分岐拡大と Eisenstein 多項式

定理 5.1（「局所体」§5）・ ✓公理まで証明済み

$K$ を完備離散付値体とする。

$L/K$ を $n$ 次の完全分岐拡大、 $\pi_L$ を $L$ の素元とする。 $\pi_L$ の $K$ 上の最小多項式は $n$ 次の Eisenstein 多項式で、 $L = K(\pi_L)$ 、 $\mathcal{O}_L = \mathcal{O}_K[\pi_L]$ である。
逆に $g \in \mathcal{O}_K[X]$ を $n$ 次の Eisenstein 多項式とすると、 $L = K[X]/(g)$ は $K$ の $n$ 次の完全分岐拡大で、 $g$ の根 $\alpha = X \bmod g$ は $L$ の素元である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 153 件、定義なども含めて 165 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

局所体での基本等式✓定理 2.6・局所体
- 非 Archimedes 的な完備体での級数✓補題 4.4・付値と完備化
- 完備離散付値体の拡大への絶対値の延長✓定理 2.4・局所体
  - Dedekind 環の整閉包は Dedekind✓系 7.3・離散付値環と Dedekind 環
    Krull–秋月の定理✓定理 7.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
    分母を払うと整になる✓命題 2.7・整拡大この先をたどる →
    整閉包は環・整性の推移性✓系 2.4・整拡大この先をたどる →
    整拡大と体✓命題 4.1・整拡大
  - 横たわり定理✓定理 4.4・整拡大
    極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
    整拡大と極大イデアル✓系 4.2・整拡大（上で展開済み）
    素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
    局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - Dedekind 環の特徴づけ✓定理 5.1・離散付値環と Dedekind 環
    分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
    Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
    素イデアルでの局所化は局所環✓命題 3.10・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
    局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
    可逆イデアルの特徴づけ✓定理 4.3・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
    極大イデアルが単項な Noether 局所整域✓系 3.5・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
    付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
    正規性は局所的✓命題 3.2・整拡大この先をたどる →
    DVR の基本性質✓命題 3.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
    Pic = Cl✓系 4.4・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - 完備体上の有限次元ノルム空間✓補題 2.3・局所体
    閉集合と点列、完備部分空間✓命題 2.3・距離空間
  - 同値の判定✓命題 2.5・付値と完備化
  - 整拡大と極大イデアル✓系 4.2・整拡大
    整性は剰余と局所化で保たれる✓命題 2.5・整拡大この先をたどる →
    素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
    素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    整拡大と体✓命題 4.1・整拡大
    極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 分解体の存在と一意性✓定理 6.6・多項式環と体の拡大
    PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大この先をたどる →
    体からの環準同型は単射✓定理 7.5・環と体の基礎この先をたどる →
    同型の拡張✓補題 6.5・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大
    環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
    PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大この先をたどる →
    極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 特性多項式と最小多項式✓補題 2.2・局所体
    ケーリー・ハミルトンの定理✓系 7.3・加群と PID 上の構造定理この先をたどる →
    アルティンの定理✓補題 7.7・ガロア理論への招待この先をたどる →
Eisenstein 多項式の既約性✓系 7.4・付値と完備化
- Gauss の補題（付値の形）✓補題 7.3・付値と完備化

完全分岐拡大と Eisenstein 多項式

閉包の状態

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

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