局所体での基本等式

定理 2.6（「局所体」§2）・ ✓公理まで証明済み

$K$ を完備離散付値体、 $L/K$ を $n$ 次拡大とする。 $f = f(L/K)$ は有限で、 $\omega_1, \ldots, \omega_f \in \mathcal{O}_L$ を剰余体での像が $\kappa_L$ の $\kappa_K$ 基底となるように取ると、

\{\omega_i\pi_L^j \mid 1 \le i \le f,\ 0 \le j \le e - 1\}

は $\mathcal{O}_L$ の $\mathcal{O}_K$ 加群としての基底である。したがって $\mathcal{O}_L$ は階数 $n$ の自由 $\mathcal{O}_K$ 加群で、

n = ef, \qquad v_K(N_{L/K}(x)) = f\,v_L(x) \quad (x \in L^{\times}).

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 150 件、定義なども含めて 162 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

非 Archimedes 的な完備体での級数✓補題 4.4・付値と完備化
完備離散付値体の拡大への絶対値の延長✓定理 2.4・局所体
- Dedekind 環の整閉包は Dedekind✓系 7.3・離散付値環と Dedekind 環
  - Krull–秋月の定理✓定理 7.2・離散付値環と Dedekind 環
    捩れのない加群の剰余の長さ✓補題 7.1・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
    長さの加法性✓命題 5.5・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
    鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
    Artin 環の基本性質✓命題 6.1・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
  - 分母を払うと整になる✓命題 2.7・整拡大
    局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 整閉包は環・整性の推移性✓系 2.4・整拡大
    整性の判定✓定理 2.3・整拡大この先をたどる →
  - 整拡大と体✓命題 4.1・整拡大
- 横たわり定理✓定理 4.4・整拡大
  - 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
  - 整拡大と極大イデアル✓系 4.2・整拡大（上で展開済み）
  - 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- Dedekind 環の特徴づけ✓定理 5.1・離散付値環と Dedekind 環
  - 分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
  - 素イデアルでの局所化は局所環✓命題 3.10・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 可逆イデアルの特徴づけ✓定理 4.3・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - 極大イデアルが単項な Noether 局所整域✓系 3.5・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - 付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環
    局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 正規性は局所的✓命題 3.2・整拡大この先をたどる →
  - DVR の基本性質✓命題 3.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - Pic = Cl✓系 4.4・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- 完備体上の有限次元ノルム空間✓補題 2.3・局所体
  - 閉集合と点列、完備部分空間✓命題 2.3・距離空間
- 同値の判定✓命題 2.5・付値と完備化
- 整拡大と極大イデアル✓系 4.2・整拡大
  - 整性は剰余と局所化で保たれる✓命題 2.5・整拡大この先をたどる →
  - 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 整拡大と体✓命題 4.1・整拡大
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 分解体の存在と一意性✓定理 6.6・多項式環と体の拡大
  - PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - 体からの環準同型は単射✓定理 7.5・環と体の基礎この先をたどる →
  - 同型の拡張✓補題 6.5・多項式環と体の拡大この先をたどる →
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 特性多項式と最小多項式✓補題 2.2・局所体
  - ケーリー・ハミルトンの定理✓系 7.3・加群と PID 上の構造定理この先をたどる →
  - アルティンの定理✓補題 7.7・ガロア理論への招待この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 6 件

ノルム写像の性質✓命題 8.2・アデールとイデール
局所体の巡回拡大のノルム指数✓定理 3.1・類体論
大域体のテンソル積と局所成分✓定理 3.1・局所体
不分岐拡大でのノルムとトレースの全射性✓定理 4.4・局所体
完全分岐拡大と Eisenstein 多項式✓定理 5.1・局所体
不分岐拡大の上の完全分岐拡大✓系 5.3・局所体

局所体での基本等式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

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