数学 › 可換環論 › 離散付値環と Dedekind 環
捩れのない加群の剰余の長さ
を次元 以下の Noether 整域、、 とし、 を捩れのない 加群（、 なら ）で が有限なものとする。 について、 は有限の長さをもち、次が成り立つ。
- が有限生成なら である。
- 一般に である。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 30 件、定義なども含めて 37 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル
環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
- 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環
- 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
- 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
- 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
- イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
- 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
秋月–Hopkins の定理（可換環）✓定理 6.3・Noether 環と Artin 環
Artin 環の基本性質✓命題 6.1・Noether 環と Artin 環
- 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題
- 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
- 極大イデアルは素イデアル✓系 6.4・イデアルと剰余環 この先をたどる →
極大イデアルの積が 0 になる環✓補題 6.2・Noether 環と Artin 環
Noether 環のイデアルは素イデアルの積を含む✓補題 4.5・Noether 環と Artin 環
- 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
- 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換
取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換
- 生成される部分空間は S を含む最小の部分空間✓補題 4.4・ベクトル空間と線形変換 この先をたどる →
長さの加法性✓命題 5.5・Noether 環と Artin 環
- 組成列の存在✓命題 5.2・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
Jordan–Hölder の定理（加群）✓定理 5.3・Noether 環と Artin 環
- 加群の同型定理と対応定理✓補題 2.1・Noether 環と Artin 環 この先をたどる →
- 組成列の存在✓命題 5.2・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
これを使っている定理 証明で参照している 2 件
- Krull–秋月の定理✓定理 7.2・離散付値環と Dedekind 環
- 一般の Dedekind 環での基本等式✓定理 8.2・離散付値環と Dedekind 環