局所体の巡回拡大のノルム指数

定理 3.1（「類体論」§3）・ ✓公理まで証明済み

$L/K$ を局所体の $n$ 次巡回拡大、 $G = \mathrm{Gal}(L/K)$ とする。

$h(G, U_L) = 1$ 、 $h(G, L^{\times}) = n$ である。
$[K^{\times} : N_{L/K}L^{\times}] = n = [L:K]$ である。
$[U_K : N_{L/K}U_L] = e$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 161 件、定義なども含めて 174 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 7 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

完備離散付値体の拡大への絶対値の延長✓定理 2.4・局所体
- Dedekind 環の整閉包は Dedekind✓系 7.3・離散付値環と Dedekind 環
  - Krull–秋月の定理✓定理 7.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - 分母を払うと整になる✓命題 2.7・整拡大この先をたどる →
  - 整閉包は環・整性の推移性✓系 2.4・整拡大この先をたどる →
  - 整拡大と体✓命題 4.1・整拡大
- 横たわり定理✓定理 4.4・整拡大
  - 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
  - 整拡大と極大イデアル✓系 4.2・整拡大（上で展開済み）
  - 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- Dedekind 環の特徴づけ✓定理 5.1・離散付値環と Dedekind 環
  - 分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
  - 素イデアルでの局所化は局所環✓命題 3.10・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 可逆イデアルの特徴づけ✓定理 4.3・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - 極大イデアルが単項な Noether 局所整域✓系 3.5・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - 付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - 正規性は局所的✓命題 3.2・整拡大この先をたどる →
  - DVR の基本性質✓命題 3.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - Pic = Cl✓系 4.4・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- 完備体上の有限次元ノルム空間✓補題 2.3・局所体
  - 閉集合と点列、完備部分空間✓命題 2.3・距離空間
- 同値の判定✓命題 2.5・付値と完備化
- 整拡大と極大イデアル✓系 4.2・整拡大
  - 整性は剰余と局所化で保たれる✓命題 2.5・整拡大この先をたどる →
  - 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 整拡大と体✓命題 4.1・整拡大
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 分解体の存在と一意性✓定理 6.6・多項式環と体の拡大この先をたどる →
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大この先をたどる →
- 特性多項式と最小多項式✓補題 2.2・局所体この先をたどる →
巡回拡大の正規基底✓補題 2.4・類体論
- デデキントの補題（指標の一次独立性）✓補題 7.6・ガロア理論への招待
- 有理標準形✓定理 7.2・加群と PID 上の構造定理この先をたどる →
局所体での基本等式✓定理 2.6・局所体
- 非 Archimedes 的な完備体での級数✓補題 4.4・付値と完備化
- 完備離散付値体の拡大への絶対値の延長✓定理 2.4・局所体（上で展開済み）
半局所加群の補題✓補題 2.3・類体論
局所体の位相✓命題 6.3・局所体
- 距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間
  - ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
- コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性この先をたどる →
- 位相群定義 7.1・局所コンパクト空間
Herbrand 商の性質✓補題 2.2・類体論
- 蛇の補題✓補題 4.1・加群・完全列・中山の補題
Hilbert の定理 90✓定理 4.1・S 単数と Kummer 理論
- デデキントの補題（指標の一次独立性）✓補題 7.6・ガロア理論への招待

これを使っている定理証明で参照している 2 件

$Q_p$ の Abel 拡大と円分拡大の相互写像✓定理 4.6・類体論
第 1 不等式✓定理 6.3・類体論

局所体の巡回拡大のノルム指数

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 7 件）

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