数学 › 可換環論 › 整拡大

整閉包は環・整性の推移性

系 2.4（「整拡大」§2）・ ✓公理まで証明済み

$\varphi \colon A \to B$ を環準同型とする。

（有限性の推移性） $B$ が $A$ 上有限で、 $B$ 代数 $C$ が $B$ 上有限なら、 $C$ は $A$ 上有限である。
$b_1, \ldots, b_n \in B$ が $A$ 上整なら、 $A[b_1, \ldots, b_n]$ は $A$ 上有限である。
$B$ における $A$ の整閉包は、 $\varphi(A)$ を含む $B$ の部分環である。
$B$ が $A$ 上有限なら $B$ は $A$ 上整である。 $B$ が $A$ 上有限であることと、 $B$ が $A$ 上整かつ有限型であることは同値である。
（整性の推移性） $B$ が $A$ 上整で、 $B$ 代数 $C$ が $B$ 上整なら、 $C$ は $A$ 上整である。
$B$ における $A$ の整閉包を $C$ とすると、 $C$ は $B$ で整閉である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 5 件、定義なども含めて 6 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

整性の判定✓定理 2.3・整拡大
- 行列式のトリック✓定理 3.3・加群・完全列・中山の補題
  - 多項式環からの代入✓補題 3.1・加群・完全列・中山の補題
    多項式環定義 6.1・環と体の基礎
  - 可換環上の余因子行列の恒等式✓補題 3.2・加群・完全列・中山の補題
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質

これを使っている定理証明で参照している 9 件

正規化の存在と普遍性✓定理 4.2・次元・正規性・非特異性と微分の層
固有かつアフィンな射は有限✓定理 8.4・分離射・固有射と付値判定法
設定から従う基本事実✓補題 2.1・分解群・惰性群・Frobenius 元
Dedekind 環の整閉包は Dedekind✓系 7.3・離散付値環と Dedekind 環
Noether の正規化定理✓定理 3.1・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
局所化が体になる有限型代数✓補題 5.3・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
Jacobson 環上の有限型代数✓定理 5.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
体上有限生成整域の正規化の有限性✓定理 6.7・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
イデアル上整な元の全体✓補題 5.2・整拡大

関連するノック 5 問