Jacobson 環上の有限型代数

定理 5.4（「Noether の正規化と Hilbert の零点定理」§5）・ ✓公理まで証明済み

体と $\mathbb{Z}$ は Jacobson 環である。
$A$ を Jacobson 環、 $\varphi \colon A \to B$ を有限型 $A$ 代数とする。 $B$ は Jacobson 環であり、 $B$ の任意の極大イデアル $\mathfrak{n}$ について $\mathfrak{m} = \varphi^{-1}(\mathfrak{n})$ は $A$ の極大イデアルで、 $B/\mathfrak{n}$ は $A/\mathfrak{m}$ 上有限次の体である。
とくに、体 $k$ 上の有限型代数 $B$ は Jacobson 環で、任意のイデアル $I$ について $\sqrt{I}$ は $I$ を含む極大イデアルの共通部分に等しく、極大イデアル $\mathfrak{n}$ の剰余体 $B/\mathfrak{n}$ は $k$ 上有限次である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 43 件、定義なども含めて 50 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

整数環と多項式環は単項イデアル整域✓命題 7.2・イデアルと剰余環
Jacobson 環の判定✓補題 5.2・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
- 根基は素イデアルの共通部分✓系 2.7・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 冪零根基は素イデアルの共通部分✓定理 2.6・局所化と素イデアルのスペクトル
    Zorn の補題✓定理 5.1・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
  - 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
- 極大イデアルは素イデアル✓系 6.4・イデアルと剰余環
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 体は整域✓定理 5.2・環と体の基礎
    体定義 5.1・環と体の基礎
    環の基本計算則✓命題 3.3・環と体の基礎
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
    剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
- 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  - 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 局所化は環になる✓補題 3.3・局所化と素イデアルのスペクトル
- 局所化と剰余の可換性✓命題 3.7・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
  - 局所化は環になる✓補題 3.3・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
局所化が体になる有限型代数✓補題 5.3・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
- 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環準同型定義 7.1・環と体の基礎
- Zariski の補題（弱零点定理）✓定理 4.1・Noether の正規化と Hilbert の零点定理（上で展開済み）
- 整閉包は環・整性の推移性✓系 2.4・整拡大（上で展開済み）
- 整拡大と体✓命題 4.1・整拡大
Zariski の補題（弱零点定理）✓定理 4.1・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
- Noether の正規化定理✓定理 3.1・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
  - 体からの環準同型は単射✓定理 7.5・環と体の基礎この先をたどる →
  - 整性の判定✓定理 2.3・整拡大（上で展開済み）
  - 整閉包は環・整性の推移性✓系 2.4・整拡大（上で展開済み）
  - 代数的な元の全体は体をなす✓系 6.3・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - 超越基底の存在と超越次数の一意性✓定理 2.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
- 整拡大と体✓命題 4.1・整拡大
- 多項式環の次数・整域性・単元✓定理 6.2・環と体の基礎
整閉包は環・整性の推移性✓系 2.4・整拡大
- 整性の判定✓定理 2.3・整拡大
  - 行列式のトリック✓定理 3.3・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
整拡大と体✓命題 4.1・整拡大

これを使っている定理証明で参照している 2 件

被約スキームの射は閉点で決まる✓補題 5.2・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み
Jacobi 判定法✓定理 9.4・Kähler 微分と滑らかさの入口

Jacobson 環上の有限型代数

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

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