数学 › 代数学（群・環・体） › 多項式環と体の拡大
代数的な元の全体は体をなす
が有限次拡大なら、 の任意の元は 上代数的である。また を任意の拡大とすると、 上代数的な の元全体は の部分体をなす。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 9 件、定義なども含めて 12 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大
環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
- 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環
- 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
- 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
- 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
- イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
- 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 次数の連鎖律✓命題 6.1・多項式環と体の拡大
これを使っている定理 証明で参照している 6 件
- 有限次正規拡大と分解体✓定理 6.8・多項式環と体の拡大
- 代数性の推移と添加✓補題 2.2・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
- 超越基底の存在と超越次数の一意性✓定理 2.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
- Noether の正規化定理✓定理 3.1・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
- 代数閉体上の多項式環の極大イデアル✓系 4.3・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
- 純非分離拡大での整閉包の有限性✓補題 6.6・Noether の正規化と Hilbert の零点定理