超越基底の存在と超越次数の一意性

定理 2.4（「Noether の正規化と Hilbert の零点定理」§2）・ ✓公理まで証明済み

$L/K$ を体の拡大とする。

$S \subseteq T \subseteq L$ で、 $S$ は代数的に独立、 $L$ は $K(T)$ 上代数的であるとする。このとき $S \subseteq B \subseteq T$ となる超越基底 $B$ が存在する。とくに（ $S = \varnothing$ 、 $T = L$ として）超越基底は存在する。
$L$ が有限集合 $T$ （元の個数 $n$ ）について $K(T)$ 上代数的なら、 $L$ の代数的に独立な部分集合の元の個数は $n$ 以下である。
$L/K$ が有限集合からなる超越基底をもつなら、すべての超越基底は有限で、元の個数は等しい。
$K \subseteq M \subseteq L$ を中間体とし、 $L$ は $M$ 上代数的であるとする。 $M/K$ の超越基底は $L/K$ の超越基底である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 15 件、定義なども含めて 19 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Zorn の補題✓定理 5.1・選択公理と Zorn の補題
- 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
- 整合的集合の比較可能性✓補題 5.5・選択公理と Zorn の補題
- 始切片で増える整列集合の合併✓補題 5.4・選択公理と Zorn の補題
代数性の推移と添加✓補題 2.2・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
    イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
  - PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大
    極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
    素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
    イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 次数の連鎖律✓命題 6.1・多項式環と体の拡大
- 代数的な元の全体は体をなす✓系 6.3・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
代数的な元の全体は体をなす✓系 6.3・多項式環と体の拡大
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- 次数の連鎖律✓命題 6.1・多項式環と体の拡大
取り替え補題（代数的従属）✓補題 2.3・Noether の正規化と Hilbert の零点定理

これを使っている定理証明で参照している 5 件

関数体の微分の次元✓補題 7.1・次元・正規性・非特異性と微分の層
曲線の射は有限✓定理 3.1・曲線と Riemann–Roch の定理
Noether の正規化定理✓定理 3.1・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
純非分離拡大での整閉包の有限性✓補題 6.6・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
高さ 1 の素イデアルによる剰余✓補題 7.2・Krull 次元と単項イデアル定理

超越基底の存在と超越次数の一意性

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 5 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 5 件