始切片で増える整列集合の合併

$\mathcal{C}$ を整列集合 $(A, \le_A)$ の空でない族（空の整列集合を含んでもよい）で、次を満たすものとする：任意の $(A, \le_A), (B, \le_B) \in \mathcal{C}$ について、一方が他方の始切片になっている。すなわち（たとえば）$A \subseteq B$、$\le_B$ を $A$ に制限したものが $\le_A$ に等しく、$A$ は $(B, \le_B)$ の始切片である。このとき $A^{*} := \bigcup_{A \in \mathcal{C}} A$ 上に、各 $\le_A$ の合併として定まる順序 $\le^{*}$ は整列順序であり、すべての $(A, \le_A) \in \mathcal{C}$ は $(A^{*}, \le^{*})$ の始切片である。