数学 › 可換環論 › Noether の正規化と Hilbert の零点定理

体上有限生成整域の正規化の有限性

定理 6.7（「Noether の正規化と Hilbert の零点定理」§6） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 65 件、定義なども含めて 74 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 8 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• Noether の正規化定理✓定理 3.1・Noether の正規化と Hilbert の零点定理

  • 体からの環準同型は単射✓定理 7.5・環と体の基礎

    • 体定義 5.1・環と体の基礎
    • 環の基本計算則✓命題 3.3・環と体の基礎
    • 環準同型の核✓命題 7.2・環と体の基礎 この先をたどる →
  • 整性の判定✓定理 2.3・整拡大

    • 行列式のトリック✓定理 3.3・加群・完全列・中山の補題 この先をたどる →
  • 整閉包は環・整性の推移性✓系 2.4・整拡大（上で展開済み）
  • 代数的な元の全体は体をなす✓系 6.3・多項式環と体の拡大

    • 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
    • 次数の連鎖律✓命題 6.1・多項式環と体の拡大
  • 超越基底の存在と超越次数の一意性✓定理 2.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理 この先をたどる →
• 整閉包は環・整性の推移性✓系 2.4・整拡大

  • 整性の判定✓定理 2.3・整拡大（上で展開済み）
• 代数性の推移と添加✓補題 2.2・Noether の正規化と Hilbert の零点定理

  • 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
  • 次数の連鎖律✓命題 6.1・多項式環と体の拡大
  • 代数的な元の全体は体をなす✓系 6.3・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
• 分離部分と純非分離部分への分解✓補題 6.5・Noether の正規化と Hilbert の零点定理

  • 分離拡大のトレース形式は非退化✓補題 6.3・Noether の正規化と Hilbert の零点定理 この先をたどる →
  • 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
  • 同型の拡張✓補題 6.5・多項式環と体の拡大

    • 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
  • 分離性の判定✓命題 6.11・多項式環と体の拡大
  • フロベニウス写像✓補題 7.1・多項式環と体の拡大
  • 代数性の推移と添加✓補題 2.2・Noether の正規化と Hilbert の零点定理（上で展開済み）
• 純非分離拡大での整閉包の有限性✓補題 6.6・Noether の正規化と Hilbert の零点定理

  • フロベニウス写像✓補題 7.1・多項式環と体の拡大
  • 代数性の推移と添加✓補題 2.2・Noether の正規化と Hilbert の零点定理（上で展開済み）
  • 代数的な元の全体は体をなす✓系 6.3・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
  • 超越基底の存在と超越次数の一意性✓定理 2.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理 この先をたどる →
  • R が UFD なら R[x] も UFD✓定理 3.5・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
  • UFD は整閉✓命題 3.3・整拡大

    • 一意性と素元✓補題 2.3・多項式環と体の拡大
  • Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
  • 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
• Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環

  • 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  • 局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
  • ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
  • ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
  • 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環 この先をたどる →
• 分母を払うと整になる✓命題 2.7・整拡大

  • 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
• 分離拡大での整閉包の有限性✓命題 6.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理

  • 分母を払うと整になる✓命題 2.7・整拡大（上で展開済み）
  • 分離拡大のトレース形式は非退化✓補題 6.3・Noether の正規化と Hilbert の零点定理 この先をたどる →
  • トレースと最小多項式✓補題 6.2・Noether の正規化と Hilbert の零点定理 この先をたどる →
  • 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  • Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

• 正規化の存在と普遍性✓定理 4.2・次元・正規性・非特異性と微分の層
• 曲線の射は有限✓定理 3.1・曲線と Riemann–Roch の定理
• 曲線と 1 変数関数体の圏同値✓定理 4.2・曲線と Riemann–Roch の定理