数学 › 可換環論 › Noether の正規化と Hilbert の零点定理
分離拡大での整閉包の有限性
を Noether 整閉整域、、 を有限次分離拡大、 を における の整閉包とする。このとき は有限生成 加群であり、Noether 環で、 である。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 45 件、定義なども含めて 53 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
分母を払うと整になる✓命題 2.7・整拡大
分離拡大のトレース形式は非退化✓補題 6.3・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
分解体の存在と一意性✓定理 6.6・多項式環と体の拡大
PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大
- 体からの環準同型は単射✓定理 7.5・環と体の基礎（上で展開済み）
- 同型の拡張✓補題 6.5・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
有限次正規拡大と分解体✓定理 6.8・多項式環と体の拡大
- 代数的な元の全体は体をなす✓系 6.3・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- 同型の拡張✓補題 6.5・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
- 次数の連鎖律✓命題 6.1・多項式環と体の拡大
- 正規拡大定義 6.7・多項式環と体の拡大
体からの環準同型は単射✓定理 7.5・環と体の基礎
代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環（上で展開済み）
- PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環 この先をたどる →
- 次数の連鎖律✓命題 6.1・多項式環と体の拡大
- トレースと最小多項式✓補題 6.2・Noether の正規化と Hilbert の零点定理（上で展開済み）
- デデキントの補題（指標の一次独立性）✓補題 7.6・ガロア理論への招待
双対基底✓定理 2.3・双対空間と商空間
- 座標同型と、基底による線形写像の決定✓命題 2.1・行列と連立一次方程式
トレースと最小多項式✓補題 6.2・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
整閉整域上の最小多項式✓命題 5.3・整拡大
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- 分解体の存在と一意性✓定理 6.6・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- イデアル上整な元の全体✓補題 5.2・整拡大 この先をたどる →
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
- ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大
- ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
- イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環 この先をたどる →
- 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環 この先をたどる →
- 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
これを使っている定理 証明で参照している 3 件
- 設定から従う基本事実✓補題 2.1・分解群・惰性群・Frobenius 元
- 一般の Dedekind 環での基本等式✓定理 8.2・離散付値環と Dedekind 環
- 体上有限生成整域の正規化の有限性✓定理 6.7・Noether の正規化と Hilbert の零点定理