分離拡大のトレース形式は非退化

補題 6.3（「Noether の正規化と Hilbert の零点定理」§6）・ ✓公理まで証明済み

$L/K$ を $n$ 次の有限次分離拡大（定義 6.10［多項式環と体の拡大］）とする。

$L$ を含むある体 $N$ と、相異なる $K$ 上の体の準同型 $\sigma_1, \ldots, \sigma_n \colon L \to N$ があって、すべての $x \in L$ について $\operatorname{Tr}_{L/K}(x) = \sum_{i=1}^{n}\sigma_i(x)$ である。
$\operatorname{Tr}_{L/K}(x_0) \ne 0$ となる $x_0 \in L$ がある。
$L$ の任意の $K$ 上の基底 $v_1, \ldots, v_n$ に対し、 $\operatorname{Tr}_{L/K}(v_iw_j) = \delta_{ij}$ となる基底 $w_1, \ldots, w_n$ （双対基底）がある。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 38 件、定義なども含めて 44 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 10 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

分解体の存在と一意性✓定理 6.6・多項式環と体の拡大
- PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 体からの環準同型は単射✓定理 7.5・環と体の基礎（上で展開済み）
- 同型の拡張✓補題 6.5・多項式環と体の拡大
  - 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
有限次正規拡大と分解体✓定理 6.8・多項式環と体の拡大
- 代数的な元の全体は体をなす✓系 6.3・多項式環と体の拡大
  - 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
  - 次数の連鎖律✓命題 6.1・多項式環と体の拡大
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- 同型の拡張✓補題 6.5・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- 次数の連鎖律✓命題 6.1・多項式環と体の拡大
正規拡大定義 6.7・多項式環と体の拡大
体からの環準同型は単射✓定理 7.5・環と体の基礎
- 体定義 5.1・環と体の基礎
- 環の基本計算則✓命題 3.3・環と体の基礎
- 環準同型の核✓命題 7.2・環と体の基礎
  - 部分群の判定法✓命題 3.3・部分群と剰余類
  - 環の基本計算則✓命題 3.3・環と体の基礎
代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
- PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
次数の連鎖律✓命題 6.1・多項式環と体の拡大
トレースと最小多項式✓補題 6.2・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- 整閉整域上の最小多項式✓命題 5.3・整拡大
  - 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
  - 分解体の存在と一意性✓定理 6.6・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
  - イデアル上整な元の全体✓補題 5.2・整拡大この先をたどる →
デデキントの補題（指標の一次独立性）✓補題 7.6・ガロア理論への招待
双対基底✓定理 2.3・双対空間と商空間
- 座標同型と、基底による線形写像の決定✓命題 2.1・行列と連立一次方程式
次元定理✓定理 7.3・ベクトル空間と線形変換
- 核と像の基本性質✓命題 7.2・ベクトル空間と線形変換
  - 部分空間の判定条件✓命題 4.2・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - ベクトル空間の初等的性質✓命題 3.2・ベクトル空間と線形変換
- 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換
  - 取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
- 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換
  - 取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 4 件

双対の基本性質✓補題 8.3・分解群・惰性群・Frobenius 元
Euler の補題と単生成の場合の共役差積✓命題 8.6・分解群・惰性群・Frobenius 元
分離拡大での整閉包の有限性✓命題 6.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
分離部分と純非分離部分への分解✓補題 6.5・Noether の正規化と Hilbert の零点定理

分離拡大のトレース形式は非退化

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 10 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 10 件）

これを使っている定理証明で参照している 4 件