双対の基本性質

補題 8.3（「分解群・惰性群・Frobenius 元」§8）・ ✓公理まで証明済み

2.1 節の設定（ $A$ は商体 $K$ の標数が $0$ で剰余体が有限な Dedekind 整域、 $B$ は有限次拡大 $L/K$ における $A$ の整閉包）で、次が成り立つ。

$B^{*}$ は $B$ を含む $B$ の分数イデアルである。
$B$ の分数イデアル $\mathfrak{B}$ について $\mathfrak{B}^{*} = \mathfrak{B}^{-1}B^{*} = (\mathfrak{B}\mathfrak{D}_{L/K})^{-1}$ 。
$A$ の $0$ でない素イデアル $\mathfrak{p}$ について $(B_{\mathfrak{p}})^{*} = B^{*}B_{\mathfrak{p}}$ （左辺は $B_{\mathfrak{p}}$ の $A_{\mathfrak{p}}$ に関する双対）。したがって $\mathfrak{D}_{B_{\mathfrak{p}}/A_{\mathfrak{p}}} = \mathfrak{D}_{B/A}B_{\mathfrak{p}}$ 、 $\mathfrak{d}_{B_{\mathfrak{p}}/A_{\mathfrak{p}}} = \mathfrak{d}_{B/A}A_{\mathfrak{p}}$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 155 件、定義なども含めて 168 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

トレースと最小多項式✓補題 6.2・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 整閉整域上の最小多項式✓命題 5.3・整拡大
  - 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
  - 分解体の存在と一意性✓定理 6.6・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
  - イデアル上整な元の全体✓補題 5.2・整拡大この先をたどる →
分母を払うと整になる✓命題 2.7・整拡大
- 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環準同型定義 7.1・環と体の基礎
分離拡大のトレース形式は非退化✓補題 6.3・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
- 分解体の存在と一意性✓定理 6.6・多項式環と体の拡大
  - PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - 体からの環準同型は単射✓定理 7.5・環と体の基礎（上で展開済み）
  - 同型の拡張✓補題 6.5・多項式環と体の拡大この先をたどる →
- 有限次正規拡大と分解体✓定理 6.8・多項式環と体の拡大
  - 代数的な元の全体は体をなす✓系 6.3・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
  - 同型の拡張✓補題 6.5・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - 次数の連鎖律✓命題 6.1・多項式環と体の拡大
- 正規拡大定義 6.7・多項式環と体の拡大
- 体からの環準同型は単射✓定理 7.5・環と体の基礎
  - 体定義 5.1・環と体の基礎
  - 環の基本計算則✓命題 3.3・環と体の基礎
  - 環準同型の核✓命題 7.2・環と体の基礎この先をたどる →
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- 次数の連鎖律✓命題 6.1・多項式環と体の拡大
- トレースと最小多項式✓補題 6.2・Noether の正規化と Hilbert の零点定理（上で展開済み）
- デデキントの補題（指標の一次独立性）✓補題 7.6・ガロア理論への招待
- 双対基底✓定理 2.3・双対空間と商空間
  - 座標同型と、基底による線形写像の決定✓命題 2.1・行列と連立一次方程式
- 次元定理✓定理 7.3・ベクトル空間と線形変換
  - 核と像の基本性質✓命題 7.2・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域
- イデアルの素イデアル分解✓定理 4.5・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 素イデアルの逆✓補題 4.4・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
- 素イデアルの逆✓補題 4.4・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 素イデアルの積を含む✓補題 4.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 加群による整性の判定✓補題 2.2・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
設定から従う基本事実✓補題 2.1・分解群・惰性群・Frobenius 元
- Dedekind 環の整閉包は Dedekind✓系 7.3・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- 分離拡大での整閉包の有限性✓命題 6.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
- 整拡大と極大イデアル✓系 4.2・整拡大この先をたどる →
- 一般の Dedekind 環での基本等式✓定理 8.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- 整閉包は環・整性の推移性✓系 2.4・整拡大
  - 整性の判定✓定理 2.3・整拡大この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 5 件

微分が単元なら単生成✓補題 3.1・円分体と Kronecker–Weber の定理
次数 p の巡回体の共役差積✓補題 7.5・円分体と Kronecker–Weber の定理
判別式は共役差積のノルム✓命題 8.5・分解群・惰性群・Frobenius 元
Dedekind の共役差積定理✓定理 8.8・分解群・惰性群・Frobenius 元
Hilbert の公式✓定理 9.4・分解群・惰性群・Frobenius 元

双対の基本性質

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理 証明で参照している 5 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理証明で参照している 5 件