Hilbert の公式

定理 9.4（「分解群・惰性群・Frobenius 元」§9）・ ✓公理まで証明済み

2.1 節の設定（ $A$ は商体 $K$ の標数が $0$ で剰余体が有限な Dedekind 整域、 $B$ は有限次拡大 $L/K$ における $A$ の整閉包）で、 $L/K$ を Galois 拡大、 $\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}$ とする。このとき

v_{\mathfrak{P}}(\mathfrak{D}_{L/K}) = \sum_{i=0}^{\infty}\bigl(|G_i(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p})| - 1\bigr).

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 197 件、定義なども含めて 217 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 7 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

共役差積の推移律✓定理 8.4・分解群・惰性群・Frobenius 元
- 設定から従う基本事実✓補題 2.1・分解群・惰性群・Frobenius 元
  - Dedekind 環の整閉包は Dedekind✓系 7.3・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - 分離拡大での整閉包の有限性✓命題 6.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
  - 整拡大と極大イデアル✓系 4.2・整拡大この先をたどる →
  - 一般の Dedekind 環での基本等式✓定理 8.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - 整閉包は環・整性の推移性✓系 2.4・整拡大この先をたどる →
- トレースの推移律✓補題 8.1・分解群・惰性群・Frobenius 元
分解体・惰性体での分解✓定理 4.1・分解群・惰性群・Frobenius 元
- ガロア理論の基本定理✓定理 4.1・ガロア理論への招待
  - 同型の延長の個数✓補題 7.5・ガロア理論への招待この先をたどる →
  - アルティンの定理✓補題 7.7・ガロア理論への招待この先をたどる →
  - 次数の連鎖律✓命題 2.3・ガロア理論への招待
  - 自己同型は根を置換する✓補題 3.2・ガロア理論への招待この先をたどる →
  - 準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・群の準同型定理この先をたどる →
- 分解群の完全列✓定理 3.4・分解群・惰性群・Frobenius 元この先をたどる →
- 設定から従う基本事実✓補題 2.1・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）
- Galois 群は上にある素イデアルに推移的に作用する✓補題 3.1・分解群・惰性群・Frobenius 元
  - 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - ガロア理論の基本定理✓定理 4.1・ガロア理論への招待（上で展開済み）
  - 設定から従う基本事実✓補題 2.1・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）
- 分岐指数と剰余次数は塔で乗法的✓補題 2.2・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）
分岐指数と剰余次数は塔で乗法的✓補題 2.2・分解群・惰性群・Frobenius 元
- 次数の連鎖律✓命題 2.3・ガロア理論への招待
- 設定から従う基本事実✓補題 2.1・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）
- イデアルの素イデアル分解✓定理 4.5・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
Dedekind の共役差積定理✓定理 8.8・分解群・惰性群・Frobenius 元
- 双対の基本性質✓補題 8.3・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）
- 局所化の補題✓補題 2.3・分解群・惰性群・Frobenius 元この先をたどる →
- 分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
- 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
- 有限体の相対トレースは 0 でない✓補題 8.9・分解群・惰性群・Frobenius 元この先をたどる →
高次分岐群の構造✓定理 9.3・分解群・惰性群・Frobenius 元
- 分解体・惰性体での分解✓定理 4.1・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）
- 設定から従う基本事実✓補題 2.1・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）
- 局所化の補題✓補題 2.3・分解群・惰性群・Frobenius 元この先をたどる →
- 完全分岐なら素元で生成される✓補題 9.2・分解群・惰性群・Frobenius 元この先をたどる →
- 体の乗法群の有限部分群は巡回群✓定理 7.3・多項式環と体の拡大この先をたどる →
- ラグランジュの定理✓定理 6.1・部分群と剰余類この先をたどる →
- 分解群の完全列✓定理 3.4・分解群・惰性群・Frobenius 元この先をたどる →
- 可解群定義 5.2・ガロア理論への招待
双対の基本性質✓補題 8.3・分解群・惰性群・Frobenius 元
- トレースと最小多項式✓補題 6.2・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
- 分母を払うと整になる✓命題 2.7・整拡大この先をたどる →
- 分離拡大のトレース形式は非退化✓補題 6.3・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
- 分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
- 設定から従う基本事実✓補題 2.1・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）
Euler の補題と単生成の場合の共役差積✓命題 8.6・分解群・惰性群・Frobenius 元
- 整閉整域上の最小多項式✓命題 5.3・整拡大この先をたどる →
- 分離拡大のトレース形式は非退化✓補題 6.3・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 3 件

次数 p の巡回体の共役差積✓補題 7.5・円分体と Kronecker–Weber の定理
p だけで分岐する次数 p の巡回体の一意性✓補題 7.6・円分体と Kronecker–Weber の定理
局所体の高次分岐群✓命題 8.1・局所体

Hilbert の公式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

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