数学 › 代数的整数論・類体論 › 分解群・惰性群・Frobenius 元

高次分岐群の構造

定理 9.3（「分解群・惰性群・Frobenius 元」§9） ・ ✓公理まで証明済み

2.1 節の設定（AA は商体 KK の標数が 00 で剰余体が有限な Dedekind 整域、BB は有限次拡大 L/KL/K における AA の整閉包）で、L/KL/K を Galois 拡大、P∣p\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}、DD、II を P\mathfrak{P} の分解群と惰性群、e=e(P∣p)e = e(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p})、pp を κ(p)\kappa(\mathfrak{p}) の標数とし、π∈P∖P2\pi \in \mathfrak{P} \setminus \mathfrak{P}^2 を取る。BPB_{\mathfrak{P}} は BB の P\mathfrak{P} での局所化である。

  1. 各 GiG_i は DD の正規部分群で、I=G0⊇G1⊇G2⊇⋯I = G_0 \supseteq G_1 \supseteq G_2 \supseteq \cdots である。
  2. σ∈I\sigma \in I について σ∈Gi  ⟺  vP(σπ−π)≥i+1\sigma \in G_i \iff v_{\mathfrak{P}}(\sigma\pi - \pi) \ge i + 1。σ≠1\sigma \ne 1 なら σπ≠π\sigma\pi \ne \pi であり、十分大きい ii で Gi=1G_i = 1 である。
  3. σ↦σπ/π mod P\sigma \mapsto \sigma\pi/\pi \bmod \mathfrak{P} は π\pi の取り方によらない単射準同型 G0/G1→κ(P)×G_0/G_1 \to \kappa(\mathfrak{P})^{\times} を与える。したがって G0/G1G_0/G_1 は位数が pp と互いに素な巡回群である。
  4. i≥1i \ge 1 について、σ↦σπ/π−1\sigma \mapsto \sigma\pi/\pi - 1 は加法群への単射準同型 Gi/Gi+1→PiBP/Pi+1BPG_i/G_{i+1} \to \mathfrak{P}^iB_{\mathfrak{P}}/\mathfrak{P}^{i+1}B_{\mathfrak{P}} を与える。右辺は κ(P)\kappa(\mathfrak{P}) 上 1 次元の線形空間なので、Gi/Gi+1G_i/G_{i+1} は Abel 群で位数は pp の冪である。
  5. G1G_1 は位数が ee の pp 部分（e=e0pke = e_0p^k、p∤e0p \nmid e_0 としたときの pkp^k）に等しい II の正規部分群で、P\mathfrak{P} が順分岐または不分岐であることと G1=1G_1 = 1 は同値である。II と DD は可解群である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 180 件、定義なども含めて 198 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 8 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 5 件

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