数学 › 代数的整数論・類体論 › 分解群・惰性群・Frobenius 元

分解体・惰性体での分解

定理 4.1（「分解群・惰性群・Frobenius 元」§4） ・ ✓公理まで証明済み

2.1 節の設定（AA は商体 KK の標数が 00 で剰余体が有限な Dedekind 整域、BB は有限次拡大 L/KL/K における AA の整閉包）で、L/KL/K を Galois 拡大、P∣p\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}、ee、ff、gg を 補題 3.1 のとおりとし、Z=LDZ = L^D、T=LIT = L^I、PZ=P∩Z\mathfrak{P}_Z = \mathfrak{P} \cap Z、PT=P∩T\mathfrak{P}_T = \mathfrak{P} \cap T とする。

  1. [Z:K]=g[Z : K] = g、[T:Z]=f[T : Z] = f、[L:T]=e[L : T] = e。
  2. PZ\mathfrak{P}_Z の上にある LL の素イデアルは P\mathfrak{P} だけで、e(PZ∣p)=f(PZ∣p)=1e(\mathfrak{P}_Z \mid \mathfrak{p}) = f(\mathfrak{P}_Z \mid \mathfrak{p}) = 1。
  3. T/ZT/Z は Galois 拡大で Gal(T/Z)≅D/I\mathrm{Gal}(T/Z) \cong D/I は位数 ff の巡回群、e(PT∣PZ)=1e(\mathfrak{P}_T \mid \mathfrak{P}_Z) = 1、f(PT∣PZ)=ff(\mathfrak{P}_T \mid \mathfrak{P}_Z) = f、PT\mathfrak{P}_T は PZ\mathfrak{P}_Z の上のただ 1 つの素イデアルである（PZ\mathfrak{P}_Z は TT で惰性）。
  4. e(P∣PT)=e=[L:T]e(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{P}_T) = e = [L : T]、f(P∣PT)=1f(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{P}_T) = 1（PT\mathfrak{P}_T は LL で完全分岐）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 177 件、定義なども含めて 194 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

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