数学 › 代数的整数論・類体論 › 局所体

局所体の高次分岐群

命題 8.1（「局所体」§8） ・ ✓公理まで証明済み

KK を標数 00 の局所体、L/KL/K を有限次 Galois 拡大、G=Gal(L/K)G = \mathrm{Gal}(L/K) とし、

Gi:={σ∈G∣すべての x∈OL で vL(σx−x)≥i+1}(i≥0)G_i := \{\sigma \in G \mid \text{すべての } x \in \mathcal{O}_L \text{ で } v_L(\sigma x - x) \ge i + 1\} \qquad (i \ge 0)

とおく。

  1. 組 (OK,K,L,OL)(\mathcal{O}_K, K, L, \mathcal{O}_L) は第 1 章 2.1 節の仮定を満たし、mL\mathfrak{m}_L の分解群は GG、惰性群は G0G_0、第 ii 分岐群は GiG_i である。G0G_0 の固定体は最大不分岐部分拡大 L0L_0 で、G/G0≅Gal(κL/κK)G/G_0 \cong \mathrm{Gal}(\kappa_L/\kappa_K)、∣G0∣=e(L/K)|G_0| = e(L/K) である。
  2. G0/G1G_0/G_1 は κL×\kappa_L^{\times} の部分群に同型な巡回群、Gi/Gi+1G_i/G_{i+1}（i≥1i \ge 1）は (κL,+)(\kappa_L, +) の部分群に同型で、G1G_1 は pp 群、GG は可解群である。L/KL/K が順分岐であることと G1=1G_1 = 1 は同値である。
  3. vL(DL/K)=∑i≥0(∣Gi∣−1)v_L(\mathfrak{D}_{L/K}) = \sum_{i \ge 0}(|G_i| - 1)。L/KL/K が不分岐であることと DL/K=OL\mathfrak{D}_{L/K} = \mathcal{O}_L は同値である。
  4. L′/K′L'/K' を代数体の Galois 拡大、P∣p\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p} をその素イデアル、L=LP′L = L'_{\mathfrak{P}}、K=Kp′K = K'_{\mathfrak{p}} とする。定理 3.1 の同型 D(P∣p)≅Gal(L/K)D(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}) \cong \mathrm{Gal}(L/K) のもとで、第 1 章の分岐群 Gi(P∣p)G_i(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}) は上の GiG_i に対応する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 218 件、定義なども含めて 244 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 9 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。