局所体：完備体の拡大・不分岐拡大と完全分岐拡大

0. この記事の要点

素数 $p$ ごとに「$p$ で割り切れる回数」で数の近さを測ると、有理数から $p$ 進数という新しい数の体ができます。この記事は、その $p$ 進数の体（とその仲間）に新しい数を付け足してできる体を、どんな種類があり、どう分類できるかという観点で調べます。読み終えると、整数論で現れる素数の分解のようすを、1 つの素数の周りだけを拡大して見る方法が分かります。

• 完備離散付値体 $K$ の有限次拡大 $L$ には、絶対値がただ 1 通りに延長でき、$|x|_L = |N_{L/K}(x)|^{1/n}$ です。$L$ も完備で、付値環は $\mathcal{O}_K$ の整閉包（$\mathcal{O}_K$ の元を係数とするモニック多項式の根になる元の全体）です（定理 2.4）。大域体と違って素イデアルは 1 つしかなく、$n = ef$ が成り立ちます（定理 2.6）。
• 代数体の拡大 $L/K$ と素点 $v$ について $L \otimes_K K_v \cong \prod_{w \mid v}L_w$（$L$ を $K_v$ の係数に広げた環が、素点 $v$ を延長する素点 $w$ ごとの体の直積に割れる、という意味です）で、大域の次数・ノルム・トレース・分解群は局所成分に分かれます（定理 3.1）。
• 不分岐拡大（剰余体だけが大きくなり、素元は変わらない拡大）は剰余体の拡大と 1 対 1 に対応し、次数 $n$ ごとに $K(\zeta_{q^n-1})$ ただ 1 つで、Galois 群は Frobenius が生成する巡回群です（定理 4.2）。不分岐拡大では単数はすべて単数のノルムです（定理 4.4）。
• 完全分岐拡大（剰余体は変わらず、素元の付値の刻みだけが細かくなる拡大）は Eisenstein 多項式の根の添加で（定理 5.1）、順分岐（分岐指数が剰余体の標数で割り切れない場合）なら $K(\sqrt[e]{\pi})$ の形です（定理 5.2）。任意の有限次拡大は、不分岐拡大の上の完全分岐拡大です（系 5.3）。
• Krasner の補題（補題 6.1。ある元の共役のどれよりもその元に近い元は、その元を生成する、という補題）から、係数が近い多項式は同じ拡大を生み、標数 $0$ の局所体の次数 $n$ の拡大は有限個で（定理 6.4）、$\mathbb{Q}_p$ の有限次拡大はすべて代数体の完備化です（系 6.5）。
• 局所体はコンパクトな整数環をもつ局所コンパクト体で（命題 6.3）、乗法群は $K^{\times} \cong \pi^{\mathbb{Z}} \times \mu_{q-1} \times U^{(1)}$、標数 $0$ なら対数により $U^{(n)} \cong \mathfrak{m}^n$ です（定理 7.2）。

この記事で使う事前知識

• 絶対値・完備化: 数の「大きさ」を測る規則と、それについて列が収束する範囲まで体を広げる操作。→ 絶対値
• 離散付値環と剰余体: 素元の冪で元の大きさが測れる環と、その極大イデアルで割ってできる体。→ 離散付値環、剰余体
• 整閉包: 環の元を係数とするモニック多項式の根になる元の全体。→ 整閉包
• ノルムとトレース: 拡大体の元を掛ける写像の行列式と対角和。→ トレースとノルム
• 分解群・Frobenius 元: 素イデアルを動かさない Galois 群の元の集まりと、剰余体で冪乗写像として働く元。→ 分解群
• 局所コンパクト: 各点がコンパクトな近傍をもつ、という性質。→ 局所コンパクト

1. 動機

代数体の拡大 $L/K$ で素イデアル $\mathfrak{p}$ の分解を調べるとき、第 1 章 では「局所化して離散付値環に落とす」操作を繰り返しました。局所化しても $\mathfrak{p}$ の上の素イデアルは $g$ 個残り、そのうちの 1 つ $\mathfrak{P}$ だけを見るには分解体へ移る必要がありました。

完備化はこの手間を一度に片付けます。第 3 章 の完備化 $K_v$ の上では、有限次拡大に延びる絶対値がただ 1 つしかありません。大域の $g$ 個の素イデアルは、$L \otimes_K K_v$ が $g$ 個の体の直積に割れるという形で現れ、その 1 つの因子 $L_w/K_v$ の Galois 群が分解群そのものです。$L_w/K_v$ では $e$ と $f$ だけが残り、拡大は「剰余体を伸ばす部分（不分岐）」と「素元の冪根を取る部分（完全分岐）」にはっきり分かれます。

本記事の方針は、まず「完備ならば延長は一意」を確立し、そのあとの議論を剰余体（不分岐部分）と素元（分岐部分）に分けることです。不分岐拡大でのノルムの全射性（定理 4.4）と乗法群の構造（定理 7.2）は、第 7 章 の局所類体論でノルム剰余群 $K^{\times}/N_{L/K}(L^{\times})$ を計算するときの入力になります。

2. 絶対値の延長

2.1. 記号

定義 2.1（完備離散付値体と局所体）↗

離散的な絶対値について完備な付値体を完備離散付値体という。完備離散付値体 $K$ について、正規化した付値（値群が $\mathbb{Z}$）を $v_K$、付値環を $\mathcal{O}_K$、極大イデアルを $\mathfrak{m}_K$、素元（一意化元。$v_K(\pi_K) = 1$ となる元）を $\pi_K$、剰余体を $\kappa_K = \mathcal{O}_K/\mathfrak{m}_K$ と書く。絶対値は $c > 1$ を固定して $|x| = c^{-v_K(x)}$ とする。剰余体が有限な完備離散付値体を局所体といい、$q = q_K := |\kappa_K|$ と書く。$q$ は素数 $p$（剰余標数）の冪である。

$\mathbb{Q}_p$ は局所体です（定理 5.2［付値と完備化］）。より一般に代数体 $K$ の有限素点 $v$ での完備化 $K_v$ は局所体です（命題 4.3［付値と完備化］ により剰余体は $\mathcal{O}_K/\mathfrak{p}$）。有限体上の形式 Laurent 級数体 $\mathbb{F}_q((t))$ は標数 $p$ の局所体です。本記事の定理のうち Galois 理論の基本定理（定理 4.1［ガロア理論への招待］）や第 1 章の結果を使うものは、標数 $0$ を仮定して述べます。

有限次拡大 $L/K$ と $x \in L$ について、$x$ 倍写像の $K$ 上のトレースと行列式を $\mathrm{Tr}_{L/K}(x)$、$N_{L/K}(x)$、特性多項式を $\chi_x$ と書きます。

補題 2.2（特性多項式と最小多項式）✓

$L/K$ を体の $n$ 次拡大、$x \in L$、$g$ を $x$ の $K$ 上の最小多項式、$d = \deg g$ とする。

1. $\chi_x = g^{n/d}$。特に $N_{L/K}(x) = \bigl((-1)^dg(0)\bigr)^{n/d}$。
2. $G$ が $L$ の自己同型からなる有限群で $K = L^G$ ならば、$\chi_x = \prod_{\sigma \in G}(X - \sigma x)$、$N_{L/K}(x) = \prod_\sigma\sigma x$、$\mathrm{Tr}_{L/K}(x) = \sum_\sigma\sigma x$。

証明（補題 2.2）

1. $K(x)$ の基底 $1, x, \ldots, x^{d-1}$ に関する $x$ 倍写像の特性多項式 $\chi$ は次数 $d$ のモニック多項式で、Cayley–Hamilton の定理（系 7.3［加群と PID 上の構造定理］）から $\chi(x) = 0$ です。$g \mid \chi$ で次数が等しいので $\chi = g$ です。$L$ の $K(x)$ 上の基底 $u_1, \ldots, u_{n/d}$ を取ると、$L$ の $K$ 基底 $\{x^iu_j\}$ に関する $x$ 倍写像の行列は、同じブロックを $n/d$ 個並べたブロック対角行列なので $\chi_x = g^{n/d}$ です。行列式は $(-1)^n\chi_x(0)$ です。

2. $x$ の軌道を $\{x_1, \ldots, x_r\}$ とします。$u = \prod_i(X - x_i)$ は係数が $G$ 不変なので $K[X]$ に属し、$x$ を根にもつので $g \mid u$ です。$\sigma \in G$ は $g$ の根を根に移すので $x_i$ はすべて $g$ の根で、$u \mid g$、$u = g$、$r = d$ です。$\sigma x = x_i$ となる $\sigma$ は各 $i$ について $|G|/d$ 個で、$|G| = n$（補題 7.7［ガロア理論への招待］）ですから $\prod_\sigma(X - \sigma x) = g^{n/d} = \chi_x$ です。$X^{n-1}$ の係数と定数項を比べればトレースとノルムの式が出ます。

∎

2.2. 完備体上のノルム空間

次の補題は、2.3 節で絶対値の延長が一意になることを示すための道具です。有限次元の空間では、完備な体の上である限り、長さの測り方をどう選んでも「近い」「収束する」の意味が変わらない、というのがその内容です。証明は次元に関する帰納法で、部分空間が閉集合であることを使って、基底のずれが 0 に近づかないことを示します。

補題 2.3（完備体上の有限次元ノルム空間）✓

$K$ を自明でない絶対値について完備な付値体、$V$ を $K$ 上の $n$ 次元線形空間、$\|\cdot\|$ を $V$ のノルム（$\|x\| = 0 \iff x = 0$、$\|ax\| = |a|\|x\|$、$\|x + y\| \le \|x\| + \|y\|$）とする。$V$ の基底 $v_1, \ldots, v_n$ に対し $\|\sum_ia_iv_i\|_\infty := \max_i|a_i|$ とおくと、定数 $0 < \rho \le C$ があって

$$\rho\|x\|_\infty \le \|x\| \le C\|x\|_\infty \qquad (x \in V)$$

が成り立つ。したがって $V$ のノルムはすべて同値（同じ位相を定める）で、$V$ は完備であり、$V$ の部分空間は閉集合である。

証明（補題 2.3）

$\|\sum a_iv_i\| \le \sum|a_i|\|v_i\| \le C\|x\|_\infty$、$C = \sum_i\|v_i\|$ です。$(V, \|\cdot\|_\infty)$ は、座標ごとに Cauchy 列が収束するので完備です。

左の不等式を $n$ に関する帰納法で示します。$n = 1$ では $\|a_1v_1\| = |a_1|\|v_1\|$ です。$n \ge 2$ とし、$V_i$ を $v_j$（$j \ne i$）が張る $n - 1$ 次元部分空間とします。帰納法の仮定から、$\|\cdot\|$ の $V_i$ への制限は $V_i$ の最大値ノルムと同値で、$V_i$ は $\|\cdot\|$ について完備、したがって $V$ の閉集合です（命題 2.3［距離空間］ の 3）。平行移動 $v_i + V_i$ も閉集合で $0$ を含まないので、$\rho_i > 0$ があって $\|v_i + y\| \ge \rho_i$（$y \in V_i$）です。$\rho = \min_i\rho_i$ とします。$x = \sum a_iv_i \ne 0$ に対し $|a_r| = \|x\|_\infty$ となる $r$ を取ると

$$\|x\| = |a_r|\,\Bigl\|v_r + \sum_{i \ne r}\frac{a_i}{a_r}v_i\Bigr\| \ge \rho\,\|x\|_\infty$$

です。2 つの不等式から、$\|\cdot\|$ と $\|\cdot\|_\infty$ は同じ収束と同じ Cauchy 列を定め、$V$ は $\|\cdot\|$ について完備です。部分空間 $W$ は、$\|\cdot\|$ の制限について完備なので閉集合です。

∎

$K = \mathbb{R}$ の場合は 補題 3.2［行列のノルムと線形方程式の条件数］ で、そこでは単位球面のコンパクト性を使いました。$\mathbb{Q}_p$ の有限次拡大でない完備体（例えば剰余体が無限のもの）は局所コンパクトでないので、ここでは完備性だけを使う証明にしています。

2.3. 延長の存在と一意性

定理 2.4（完備離散付値体の拡大への絶対値の延長）✓

$K$ を完備離散付値体、$L/K$ を $n$ 次拡大とする。

1. $L$ の絶対値で $K$ の絶対値を延長するものがただ 1 つ存在する。それは離散的で、$L$ はこの絶対値について完備である。
2. $L$ の付値環 $\mathcal{O}_L = \{x \in L : |x|_L \le 1\}$ は、$L$ における $\mathcal{O}_K$ の整閉包に等しい。
3. すべての $x \in L$ について $|x|_L = |N_{L/K}(x)|^{1/n}$。
4. $K$ 上の体の同型 $\sigma \colon L \to L'$（$L'$ も $K$ の有限次拡大）は絶対値を保つ：$|\sigma x|_{L'} = |x|_L$。

証明（定理 2.4）

存在。 $B$ を $L$ における $\mathcal{O}_K$ の整閉包とします。$\mathcal{O}_K$ は離散付値環なので Dedekind 環で、$B$ は Dedekind 環、$\operatorname{Frac}B = L$ です（系 7.3［離散付値環と Dedekind 環］）。$\mathfrak{m}_K$ の上にある $B$ の素イデアル $\mathfrak{P}$ を取ります（定理 4.4［整拡大］）。局所化 $B_{\mathfrak{P}}$ は離散付値環で（定理 5.1［離散付値環と Dedekind 環］）、その付値を $w$ とします。$\mathcal{O}_K$ の単元は $B_{\mathfrak{P}}$ の単元で、$\pi_K \in \mathfrak{P}$ なので $e := w(\pi_K) \ge 1$、$a = u\pi_K^{v_K(a)} \in K^{\times}$ について $w(a) = e\,v_K(a)$ です。よって $|x|_{\mathfrak{P}} := c^{-w(x)/e}$ は $L$ の離散的な絶対値で、$K$ の絶対値を延長します。

一意性と完備性。 $|\cdot|_1$、$|\cdot|_2$ を延長とします。どちらも $K$ 線形空間 $L$ のノルムなので、補題 2.3 から同じ位相を定め、$L$ はどちらについても完備です。命題 2.5［付値と完備化］ から $|\cdot|_2 = |\cdot|_1^s$ で、$|\pi_K| \ne 1$ での値を比べて $s = 1$ です。

2. $\mathfrak{m}_K$ の上の素イデアルが $\mathfrak{P} \ne \mathfrak{P}'$ と 2 つあれば、$x \in \mathfrak{P} \setminus \mathfrak{P}'$ について $|x|_{\mathfrak{P}} < 1 = |x|_{\mathfrak{P}'}$ で、相異なる延長が 2 つできてしまいます。$B$ の $0$ でない素イデアルはすべて $\mathfrak{m}_K$ の上にあるので（$\mathfrak{P} \cap \mathcal{O}_K$ は $\mathcal{O}_K$ の $0$ でない素イデアル。系 4.2［整拡大］）、$B$ の $0$ でない素イデアルは $\mathfrak{P}$ だけです。よって $B = B_{\mathfrak{P}}$（$B \setminus \mathfrak{P}$ の元は単元）で、これは $w$ の付値環 $\{x : |x|_L \le 1\}$ です。

4. $x \mapsto |\sigma x|_{L'}$ は $L$ の絶対値で $K$ の絶対値を延長するので、一意性から $|x|_L$ に等しくなります。

3. $x \in L^{\times}$、$g$ を $x$ の $K$ 上の最小多項式、$d = \deg g$ とし、$g$ の $L$ 上の最小分解体を $M$ とします（定理 6.6［多項式環と体の拡大］）。$M/K$ は有限次拡大で、1 から絶対値 $|\cdot|_M$ があり、その $L$ への制限は一意性から $|\cdot|_L$ です。$g = \prod_{i=1}^d(X - x_i)$（$x_i \in M$）とすると、$K(x) \cong K[X]/(g) \cong K(x_i)$ から $K$ 上の同型 $\sigma_i \colon K(x) \to K(x_i)$、$\sigma_i(x) = x_i$ があり（命題 6.2［多項式環と体の拡大］）、4 から $|x_i|_M = |x|_M$ です。よって $|g(0)| = \prod_i|x_i|_M = |x|_L^d$ で、補題 2.2 の 1 から $|N_{L/K}(x)| = |g(0)|^{n/d} = |x|_L^n$ です。

∎

式 $|x|_L = |N_{L/K}(x)|^{1/n}$ は、延長がただ 1 つであることの帰結として得られました。$K$ が完備でないと延長は一般に複数あり、この式は成り立ちません（$\mathbb{Q}(i)$ で $x = 2 + i$ とすると $N(x) = 5$ ですが、$5$ の上の 2 つの素イデアルでの絶対値は $1/5$ と $1$ です）。

定義 2.5（分岐指数・剰余次数・不分岐・完全分岐・順分岐）↗

$K$ を完備離散付値体、$L/K$ を有限次拡大とする。$L$ も完備離散付値体である（定理 2.4）。$e = e(L/K) := v_L(\pi_K)$ を分岐指数、$f = f(L/K) := [\kappa_L : \kappa_K]$ を剰余次数という。$a \in K^{\times}$ について $v_L(a) = e\,v_K(a)$ である。$e = 1$ で $\kappa_L/\kappa_K$ が分離拡大のとき $L/K$ は不分岐、$f = 1$ のとき完全分岐であるという。$\kappa_K$ の標数 $p$ が $e$ を割らず、$\kappa_L/\kappa_K$ が分離拡大のとき順分岐（tamely ramified）、$p \mid e$ のとき野性分岐であるという。剰余体が有限なら $\kappa_L/\kappa_K$ はつねに分離拡大である（命題 7.6［多項式環と体の拡大］）。

塔 $K \subseteq M \subseteq L$ では $e(L/K) = v_L(\pi_K) = v_L(\pi_M)\,v_M(\pi_K) = e(L/M)e(M/K)$、$f(L/K) = f(L/M)f(M/K)$ です。

定理 2.6（局所体での基本等式）✓

$K$ を完備離散付値体、$L/K$ を $n$ 次拡大とする。$f = f(L/K)$ は有限で、$\omega_1, \ldots, \omega_f \in \mathcal{O}_L$ を剰余体での像が $\kappa_L$ の $\kappa_K$ 基底となるように取ると、

$$\{\omega_i\pi_L^j \mid 1 \le i \le f,\ 0 \le j \le e - 1\}$$

は $\mathcal{O}_L$ の $\mathcal{O}_K$ 加群としての基底である。したがって $\mathcal{O}_L$ は階数 $n$ の自由 $\mathcal{O}_K$ 加群で、

$$n = ef, \qquad v_K(N_{L/K}(x)) = f\,v_L(x) \quad (x \in L^{\times}).$$

証明（定理 2.6）

一次独立性。 $\omega_1, \ldots, \omega_r \in \mathcal{O}_L$ を、像 $\bar\omega_i$ が $\kappa_K$ 上一次独立なものとし、$a_{ij} \in K$（$1 \le i \le r$、$0 \le j < e$）に対し $s_j := \sum_ia_{ij}\omega_i$ とおきます。$a_{ij}$（$i$ を動かす）がすべて $0$ でなければ、$m_j := \min_iv_K(a_{ij})$ として $s_j = \pi_K^{m_j}\sum_ib_i\omega_i$、$b_i = a_{ij}\pi_K^{-m_j} \in \mathcal{O}_K$ で、ある $b_i$ は単元です。$\sum_i\bar b_i\bar\omega_i \ne 0$ なので $\sum_ib_i\omega_i$ は $\mathcal{O}_L$ の単元で、$v_L(s_j) = em_j$ です。したがって $v_L(s_j\pi_L^j) = em_j + j$ は $e$ を法として $j$ に合同で、$0$ でない $s_j\pi_L^j$ の付値は相異なり、

$$v_L\Bigl(\sum_{i,j}a_{ij}\omega_i\pi_L^j\Bigr) = \min_{j}\bigl(em_j + j\bigr)$$

です（$a_{ij}$ がすべて $0$ のときを除く）。特に $re$ 個の元 $\omega_i\pi_L^j$ は $K$ 上一次独立で、$re \le n$ です。よって $f \le n/e$ は有限です。

生成。 $r = f$ とし、$M := \sum_{i,j}\mathcal{O}_K\omega_i\pi_L^j$ とおきます。$x \in \mathcal{O}_L$ に対し、$\bar x = \sum_i\bar b_i\bar\omega_i$ となる $b_i \in \mathcal{O}_K$ を取ると $x - \sum_ib_i\omega_i \in \pi_L\mathcal{O}_L$ です。これを $e$ 回繰り返すと $x \in M + \pi_L^e\mathcal{O}_L = M + \pi_K\mathcal{O}_L$ です（$\pi_L^e$ と $\pi_K$ は単元倍の違い）。よって $\mathcal{O}_L = M + \pi_K\mathcal{O}_L$ で、繰り返して、$x \in \mathcal{O}_L$ に対し $y_k \in M$ が取れて、すべての $N$ で $x - \sum_{k<N}\pi_K^ky_k \in \pi_K^N\mathcal{O}_L$ となります。$y_k = \sum_{i,j}b^{(k)}_{ij}\omega_i\pi_L^j$（$b^{(k)}_{ij} \in \mathcal{O}_K$）と書くと、$\mathcal{O}_K$ は完備なので $c_{ij} := \sum_k\pi_K^kb^{(k)}_{ij} \in \mathcal{O}_K$ が収束し（補題 4.4［付値と完備化］）、$x - \sum_{i,j}c_{ij}\omega_i\pi_L^j$ はすべての $N$ で $\pi_K^N\mathcal{O}_L$ に属するので $0$ です。よって $\mathcal{O}_L = M$ です。

$L$ の元は $\pi_K$ の冪を掛ければ $\mathcal{O}_L$ に入るので、$\{\omega_i\pi_L^j\}$ は $L$ の $K$ 基底でもあり、$n = ef$ です。定理 2.4 の 3 から $c^{-v_K(N(x))} = |x|_L^n = c^{-nv_L(x)/e}$ で、$v_K(N_{L/K}(x)) = (n/e)v_L(x) = f\,v_L(x)$ です。

∎

特に $L/K$ が完全分岐なら $\mathcal{O}_L = \mathcal{O}_K[\pi_L]$、不分岐なら $\mathcal{O}_L = \sum_i\mathcal{O}_K\omega_i$ で $\pi_K$ が $L$ の素元です。大域体では $\sum e_if_i = n$ でしたが、完備体では素イデアルが 1 つなので和が消えます。

3. 大域と局所の対応

次の定理は、大域体で素イデアル $\mathfrak{p}$ の上に $g$ 個の素イデアルがあるという分解のようすを、体の言葉で言い直すものです。たとえば $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \otimes \mathbb{Q}_5$ は $\mathbb{Q}_5 \times (\text{2 次拡大})$ に割れ、これが 5 の上の 2 つの素イデアルに対応します（下の例を参照してください）。証明は、$L$ を 1 つの元 $\theta$ で生成して、その最小多項式を $K_v$ 上で既約因子に分解し、各因子を 1 つの素点に対応させるという流れです。

定理 3.1（大域体のテンソル積と局所成分）✓

$L/K$ を代数体の $n$ 次拡大、$v$ を $K$ の素点、$K_v$ を完備化とする。$L$ の素点 $w$ で、$K$ への制限が $v$ になるもの（$w \mid v$ と書く）は有限個である。

1. 各 $w \mid v$ について、$L$ の完備化 $L_w$ は $K_v$ の有限次拡大で、$L_w = LK_v$（$L$ と $K_v$ が生成する部分体）である。
2. $x \otimes a \mapsto (xa)_w$ は $K_v$ 代数の同型

$$L \otimes_K K_v \xrightarrow{\ \sim\ } \prod_{w \mid v}L_w$$

を与える。特に $[L : K] = \sum_{w \mid v}[L_w : K_v]$。 3. $x \in L$ について $N_{L/K}(x) = \prod_{w \mid v}N_{L_w/K_v}(x)$、$\mathrm{Tr}_{L/K}(x) = \sum_{w \mid v}\mathrm{Tr}_{L_w/K_v}(x)$。 4. $v$ が有限素点 $\mathfrak{p}$ のとき、$w \mid v$ は $\mathfrak{p}$ の上の素イデアル $\mathfrak{P}$ と 1 対 1 に対応し、$e(L_w/K_v) = e(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p})$、$f(L_w/K_v) = f(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p})$、$[L_w : K_v] = e(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p})f(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p})$ である。 5. $L/K$ が Galois 拡大で $v = \mathfrak{p}$、$w = \mathfrak{P}$ が有限素点のとき、$L_w/K_v$ は Galois 拡大で、分解群 $D(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p})$ の元は $L_w$ の連続な自己同型にただ 1 通りに延び、これによって $D(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}) \cong \mathrm{Gal}(L_w/K_v)$ である。

証明（定理 3.1）

$K_v$ は、有限素点なら完備離散付値体、無限素点なら $\mathbb{R}$ か $\mathbb{C}$ です（定理 8.3［付値と完備化］）。どちらの場合も、$K_v$ の有限次拡大 $F$ には $K_v$ の絶対値の延長がただ 1 つあり、$F$ は完備です。有限素点では 定理 2.4、無限素点では $F$ は $\mathbb{R}$ か $\mathbb{C}$ に同型で（$\mathbb{C}$ は代数閉体。定理 4.3［正則関数の強力な性質］）通常の絶対値の冪が延長を与え、一意性は 定理 2.4 の証明と同じく 補題 2.3 から従います。

多項式の分解。 $L$ の $K$ 基底 $u_1, \ldots, u_n$ を取り、$\theta = \sum_ic_iu_i$（$c_i \in K$）の形の元で $L = K(\theta)$ となるものを考えます。そのような $\theta$ は存在します：$L/K$ の中間体は有限個で（$L$ を含む Galois 拡大の Galois 群の部分群に対応する。定理 4.1［ガロア理論への招待］）、真の中間体はどれも $L$ の真の $K$ 部分空間ですが、無限体上の線形空間は有限個の真の部分空間の和集合になりません（補題 3.2）。$g$ を $\theta$ の $K$ 上の最小多項式とすると、$K_v[X]$ で $g = g_1\cdots g_r$（$g_i$ は相異なるモニック既約多項式。$g$ は重根をもたないので因子に重複はない）と分解します。$K_v$ 代数 $L \otimes_K K_v$ は基底 $\theta^i \otimes 1$（$0 \le i < n$）をもち、$X \mapsto \theta \otimes 1$ は $K_v$ 代数の同型 $K_v[X]/(g) \to L \otimes_K K_v$ を与えます。中国剰余定理（補題 5.2［代数体の整数環と Dedekind 整域］）から

$$L \otimes_K K_v \cong K_v[X]/(g) \cong \prod_{i=1}^rF_i, \qquad F_i := K_v[X]/(g_i)$$

で、各 $F_i$ は $K_v$ の $\deg g_i$ 次拡大、$\theta_i := X \bmod g_i$ について $F_i = K_v(\theta_i)$ です。

$F_i$ は $L$ の完備化である。 $\theta \mapsto \theta_i$ は $K$ 上の体の準同型 $\iota_i \colon L \to F_i$ を定めます。$F_i$ の絶対値（$K_v$ の絶対値のただ 1 つの延長）を $\iota_i$ で引き戻した $L$ の絶対値を $w_i$ とすると、$w_i \mid v$ です。$\iota_i(L)$ の閉包は部分体で、$K$ の閉包 $K_v$ と $\theta_i$ を含むので $F_i$ 全体です。$F_i$ は完備なので $(F_i, \iota_i)$ は $(L, w_i)$ の完備化で、$L_{w_i} = F_i = \iota_i(L)K_v$ です。

$w_i$ は相異なり、$w \mid v$ を尽くす。 $w_i$ と $w_j$ が同値なら、完備化の一意性（定理 4.2［付値と完備化］ の 2）から位相を保つ体の同型 $\varphi \colon F_i \to F_j$ で $\varphi\iota_i = \iota_j$ となるものがあります。$\varphi$ は $K$ の上で恒等的で連続なので $K_v$ の上でも恒等的で、$\varphi(\theta_i) = \theta_j$ から $g_i(\theta_j) = 0$、$g_i = g_j$、$i = j$ です。逆に $w \mid v$ を任意に取ると、$L_w$ の中で $K$ の閉包は $K_v$ と同一視でき、$L_w \supseteq K_v(\theta)$ です。$K_v(\theta)$ は $K_v$ の有限次拡大なので完備で $L_w$ の閉集合、$L$ を含むので $L_w = K_v(\theta)$ です。$\theta$ は $L_w$ で $g$ の根なのである $g_i$ の根で、$K_v$ 上の同型 $F_i \to L_w$、$\theta_i \mapsto \theta$ があり、これは $L$ の上で $\iota_i$ と包含を対応させ、絶対値を保ちます（定理 2.4 の 4 と同じ理由）。よって $w = w_i$ です。

以上で 1 と 2 が示されました（同型は $\theta^k \otimes a \mapsto (\theta_i^ka)_i$、すなわち $x \otimes a \mapsto (\iota_i(x)a)_i$ です）。

3. $L$ の $K$ 基底は $L \otimes_K K_v$ の $K_v$ 基底で、$x \in L$ を掛ける写像の行列は同じです。2 の同型でこの写像は各 $L_w$ での $x$ 倍の直積に移るので、行列式は積、トレースは和になります。

4. 定理 8.3［付値と完備化］ から $L$ の非 Archimedes 的な素点は素イデアル $\mathfrak{P}$ と対応し、$|\cdot|_{\mathfrak{P}}$ の $K$ への制限が $|\cdot|_{\mathfrak{p}}$ に同値であることは $\mathfrak{P} \cap \mathcal{O}_K = \mathfrak{p}$ と同値です。命題 4.3［付値と完備化］ から、完備化しても素元と剰余体は変わりません。すなわち $\mathcal{O}_{K,\mathfrak{p}}$ の素元 $\pi$ は $K_v$ の素元、$L_w$ の剰余体は $\mathcal{O}_L/\mathfrak{P}$、$K_v$ の剰余体は $\mathcal{O}_K/\mathfrak{p}$ です。よって $f(L_w/K_v) = f(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p})$、$e(L_w/K_v) = v_{\mathfrak{P}}(\pi) = e(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p})$ で、次数は 定理 2.6 です。

5. $\sigma \in D = D(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p})$ は $\sigma\mathfrak{P} = \mathfrak{P}$ から $v_{\mathfrak{P}}(\sigma x) = v_{\mathfrak{P}}(x)$ を満たし、$L$ の等長な自己同型です。Cauchy 列を Cauchy 列に移すので、$L_w$ の自己同型 $\hat\sigma$ にただ 1 通りに連続に延び、$\hat\sigma$ は $K$ の閉包 $K_v$ を固定します。$\sigma \mapsto \hat\sigma$ は単射準同型 $D \to \mathrm{Aut}(L_w/K_v)$ です。その像を $H$ とすると $[L_w : L_w^H] = |H| = |D|$（補題 7.7［ガロア理論への招待］）で、$|D| = e(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p})f(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}) = [L_w : K_v]$（定理 3.4［分解群・惰性群・Frobenius 元］ と 4）なので $L_w^H = K_v$ です。$L = K(\theta)$ とすると $L_w = K_v(\theta)$ で、$\theta$ の $K$ 上の最小多項式は $L$ で 1 次式の積に分解するので、$L_w$ はその $K_v$ 上の最小分解体、すなわち Galois 拡大です。$|\mathrm{Gal}(L_w/K_v)| = [L_w : K_v] = |H|$（定理 4.1［ガロア理論への招待］ の 1）から $H = \mathrm{Gal}(L_w/K_v)$ です。

∎

補題 3.2（無限体上の線形空間は真の部分空間の有限和集合でない）✓

$K$ を無限体、$V$ を $K$ 上の線形空間、$W_1, \ldots, W_m$ を $V$ の真の部分空間とする。このとき $V \ne W_1 \cup \cdots \cup W_m$。

証明（補題 3.2）

$m$ に関する帰納法です。$m = 1$ は自明です。$m \ge 2$ とし、帰納法の仮定から $x \notin W_1 \cup \cdots \cup W_{m-1}$ を取ります。$x \notin W_m$ なら終わりです。$x \in W_m$ のとき、$y \notin W_m$ を取り、$y + cx$（$c \in K$）を考えます。$y + cx \notin W_m$ です。$i < m$ について、$y + cx \in W_i$ となる $c$ は高々 1 つです（2 つあれば差を取って $x \in W_i$）。$K$ は無限なので、どの $W_i$ にも入らない $y + cx$ があります。

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この定理が、第 1 章の大域的な記述と本記事の局所的な記述をつなぐ辞書です。$\mathfrak{p}$ の上の $g$ 個の素イデアルは $L \otimes_K K_v$ の $g$ 個の因子で、$\sum_ie_if_i = n$ は次元の等式、分解群は因子の Galois 群です。

例 3.3（ℚ(∛2) $⊗ ℚ_p$ の分解）

$L = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$、$g = X^3 - 2$ とします。

• $p = 5$：$\mathbb{Q}_5[X]$ で $g = (X - a)h$、$h$ は既約な 2 次式です（例 6.7［付値と完備化］）。よって $L \otimes \mathbb{Q}_5 \cong \mathbb{Q}_5 \times F$、$F = \mathbb{Q}_5[X]/(h)$ は $\mathbb{Q}_5$ の不分岐 2 次拡大です。$5$ の上の素イデアルは $(e, f) = (1, 1)$ と $(1, 2)$ の 2 つで、$3 = 1 + 2$ です。
• $p = 31$：$g$ は $\mathbb{F}_{31}$ で 3 つの単根 $4, 7, 20$ をもつので、Hensel の補題から $\mathbb{Q}_{31}$ に 3 つの根をもち、$L \otimes \mathbb{Q}_{31} \cong \mathbb{Q}_{31}^3$ です。$31$ は完全分解します。
• $p = 2$：$g$ は Eisenstein 多項式で $\mathbb{Q}_2$ 上既約（系 7.4［付値と完備化］）、$L \otimes \mathbb{Q}_2 = \mathbb{Q}_2(\sqrt[3]{2})$ は 3 次の完全分岐拡大です。
• $v = \infty$：$g$ は $\mathbb{R}$ 上で 1 次式と既約な 2 次式の積なので $L \otimes \mathbb{R} \cong \mathbb{R} \times \mathbb{C}$ で、実素点 1 つと複素素点 1 つに対応します。

4. 不分岐拡大

この節では $K$ は局所体、$q = |\kappa_K|$ です。$K$ の有限次拡大 $L$ も局所体で、$|\kappa_L| = q^{f}$ です。

この節のねらいは、剰余体を大きくするだけの拡大を完全に分類することです。まず 1 の冪根（Teichmüller 代表）が剰余体の元の持ち上げになることを補題で示し、それを使って、次数 $n$ の不分岐拡大が $K$ に $q^n - 1$ 乗根を添加した体ただ 1 つに決まることを示します。

補題 4.1（局所体の 1 の冪根と Teichmüller 代表）✓

$L$ を局所体、$q_L = |\kappa_L|$ とする。$\mathcal{O}_L$ は 1 の $(q_L - 1)$ 乗根をちょうど $q_L - 1$ 個含み、還元はその全体 $\mu_{q_L-1}(L)$ から $\kappa_L^{\times}$ への群の同型である。$a \in \mathcal{O}_L$ に対し極限 $\omega(a) := \lim_{k \to \infty}a^{q_L^k}$ が存在し、$a \in \mathfrak{m}_L$ なら $0$、そうでなければ $\bar a$ に対応する $\mu_{q_L-1}(L)$ の元である。

証明（補題 4.1）

$X^{q_L-1} - 1$ の還元は $\kappa_L[X]$ で $\prod_{\alpha \in \kappa_L^{\times}}(X - \alpha)$ と相異なる 1 次式の積に分解するので、Hensel の補題（定理 6.1［付値と完備化］ の 2）から各 $\alpha$ は根 $\omega_\alpha \in \mathcal{O}_L$ にただ 1 通りに持ち上がります。根は高々 $q_L - 1$ 個なのでこれですべてで、還元は全単射な準同型です。$a \in \mathcal{O}_L^{\times}$ を $a = \omega_{\bar a}u$、$u \in 1 + \mathfrak{m}_L$ と書きます。$y \in \mathfrak{m}_L^j$（$j \ge 1$）なら $(1 + y)^p = 1 + py + \cdots + y^p \in 1 + \mathfrak{m}_L^{j+1}$ なので（$p \in \mathfrak{m}_L$、$pj \ge j + 1$）、$u^{q_L^k} \to 1$ です。$\omega_{\bar a}^{q_L} = \omega_{\bar a}$ から $a^{q_L^k} = \omega_{\bar a}u^{q_L^k} \to \omega_{\bar a}$ です。$a \in \mathfrak{m}_L$ なら $a^{q_L^k} \to 0$ です。

∎

定理 4.2（不分岐拡大の分類）✓

$K$ を局所体、$q = |\kappa_K|$ とする。

1. 各 $n \ge 1$ について、$X^{q^n-1} - 1$ の $K$ 上の最小分解体 $K_n$ は $K$ の $n$ 次不分岐拡大で、$K_n = K(\zeta)$（$\zeta$ は 1 の原始 $(q^n - 1)$ 乗根）、$\kappa_{K_n}$ は $q^n$ 個の元からなる。
2. $K_n/K$ は Galois 拡大で、還元 $\sigma \mapsto \bar\sigma$ は同型 $\mathrm{Gal}(K_n/K) \cong \mathrm{Aut}(\kappa_{K_n}/\kappa_K)$ を与える。したがって $\mathrm{Gal}(K_n/K)$ は位数 $n$ の巡回群で、すべての $x \in \mathcal{O}_{K_n}$ で $\varphi(x) \equiv x^q \pmod{\mathfrak{m}_{K_n}}$ を満たすただ 1 つの元 $\varphi$（Frobenius 元）が生成する。1 の $(q^n - 1)$ 乗根 $\zeta$ について $\varphi(\zeta) = \zeta^q$ である。
3. $L/K$ を有限次拡大、$f = f(L/K)$ とする。$L_0 := K(\mu_{q^f-1}(L))$ は $K$ 上 $f$ 次の不分岐拡大で、$L$ に含まれる $K$ の不分岐拡大はすべて $L_0$ に含まれる（$L_0$ を $L/K$ の最大不分岐部分拡大という）。$\kappa_{L_0} = \kappa_L$ である。
4. $K$ の $n$ 次不分岐拡大はすべて $K_n$ に $K$ 上同型である。$m \mid n$ なら $K_n$ は $K_m$ に同型な部分体をただ 1 つ含む。

証明（定理 4.2）

準備。 $L/K$ を有限次拡大、$N \ge 1$ とし、$L$ が 1 の原始 $(q^N - 1)$ 乗根 $\zeta$ を含むとします。$E := K(\zeta)$ が $K$ 上 $N$ 次の不分岐拡大で $\kappa_E$ の元の個数が $q^N$ であることを示します。$q^N - 1$ は $p$ と素なので、$X^{q^N-1} - 1$ の還元は重根をもちません（根 $\beta$ が重根なら微分の値 $(q^N - 1)\beta^{q^N-2}$ が $0$ で、$\beta = 0$ となって $\beta^{q^N-1} = 1$ に反します）。$X^{q^N-1} - 1 = \prod_{k}(X - \zeta^k)$ を還元すると、$\zeta$ の冪 $q^N - 1$ 個の還元は相異なります。よって $\bar\zeta$ の位数は $q^N - 1$ です。$\kappa_E$ の中で $X^{q^N} - X$ の根の全体 $k'$ は、$x \mapsto x^{q^N}$ が環準同型なので部分体で、$0$ と $\bar\zeta$ の冪からなり、$q^N$ 個の元をもちます。$\kappa_K$ の元は $x^q = x$ を満たすので $\kappa_K \subseteq k'$、$k' = \kappa_K(\bar\zeta)$ で、$\bar\zeta$ の $\kappa_K$ 上の最小多項式 $h_0$ の次数は $[k' : \kappa_K] = N$ です。

$\zeta$ の $K$ 上の最小多項式 $g$ は $\mathcal{O}_K[X]$ に属し（命題 5.3［整拡大］）、$X^{q^N-1} - 1$ を $\mathcal{O}_K[X]$ で割ります。$\bar g$ は $\bar\zeta$ を根にもつので $h_0 \mid \bar g$ で、$\bar g$ は重根をもたないので $\bar g = h_0h_1$、$h_0$ と $h_1$ は互いに素です。$h_1 \ne 1$ なら Hensel の補題（定理 6.1［付値と完備化］ の 2）から $g$ が $\mathcal{O}_K[X]$ で真に分解し、既約性に反します。よって $\bar g = h_0$、$[E : K] = \deg g = N$ です。$\kappa_E \supseteq k'$ から $f(E/K) \ge N = [E : K] = e(E/K)f(E/K)$ で、$e(E/K) = 1$、$f(E/K) = N$、$\kappa_E = k'$ です。

1. $K_n$ は $X^{q^n-1} - 1$ の根で生成され、根は $q^n - 1$ 個の相異なる元（$K$ の標数が $p$ でも $q^n - 1$ と素なので重根はない）で、体の乗法群の有限部分群をなすので巡回群です（定理 7.3［多項式環と体の拡大］）。生成元 $\zeta$ について $K_n = K(\zeta)$ で、準備を $L = K_n$、$N = n$ に使います。

2. $\sigma \in \mathrm{Aut}(K_n/K)$ は絶対値を保つので（定理 2.4 の 4）$\mathcal{O}_{K_n}$ と $\mathfrak{m}_{K_n}$ を保ち、$\bar\sigma \in \mathrm{Aut}(\kappa_{K_n}/\kappa_K)$ を誘導します。$\bar\sigma = \mathrm{id}$ なら $\sigma\zeta$ と $\zeta$ は還元が等しい 1 の $(q^n - 1)$ 乗根で、還元は冪根の上で単射なので $\sigma\zeta = \zeta$、$\sigma = \mathrm{id}$ です。全射性：$\bar\zeta^q$ は $\bar g = h_0$ の根で（$h_0$ の係数は $q$ 乗で不変）、$g$ は $K_n$ で 1 次式の積に分解する（根は 1 の冪根）ので、$\overline{\zeta'} = \bar\zeta^q$ となる $g$ の根 $\zeta'$ があります。$K(\zeta) \cong K[X]/(g) \cong K(\zeta')$（命題 6.2［多項式環と体の拡大］）で、$K(\zeta') \subseteq K_n$ は次数が等しいので $K_n$ に一致し、$\zeta \mapsto \zeta'$ となる $\varphi \in \mathrm{Aut}(K_n/K)$ が得られます。$\bar\varphi$ は $\bar\zeta \mapsto \bar\zeta^q$ なので $x \mapsto x^q$ で、これは $\mathrm{Aut}(\kappa_{K_n}/\kappa_K)$ を生成します（補題 3.3［分解群・惰性群・Frobenius 元］）。よって還元は同型で、$\mathrm{Aut}(K_n/K)$ は位数 $n = [K_n : K]$ の巡回群です。その固定体 $F$ は $[K_n : F] = n$（補題 7.7［ガロア理論への招待］）を満たすので $F = K$ で、$K_n/K$ は Galois 拡大です。$\varphi(\zeta)$ と $\zeta^q$ は還元が等しい 1 の冪根なので等しくなります。

3. 補題 4.1 から $L$ は 1 の原始 $(q^f - 1)$ 乗根 $\zeta$ を含み（$|\kappa_L| = q^f$）、$L_0 = K(\zeta)$ です。準備から $L_0/K$ は $f$ 次の不分岐拡大で $\kappa_{L_0}$ は $q^f$ 個の元をもち、$\kappa_L$ に一致します。$M \subseteq L$ を $K$ の不分岐拡大、$m = [M : K] = f(M/K)$ とします。$m \mid f$ で、$M$ は 1 の原始 $(q^m - 1)$ 乗根 $\xi$ を含みます。準備から $[K(\xi) : K] = m$ なので $M = K(\xi)$ です。$q^m - 1 \mid q^f - 1$ から、$L$ の中の 1 の $(q^m - 1)$ 乗根はすべて $\zeta$ の冪で（$\mu_{q^f-1}(L)$ は位数 $q^f - 1$ の巡回群で、位数 $q^m - 1$ の部分群をただ 1 つもつ）、$M \subseteq L_0$ です。

4. $L/K$ が $n$ 次不分岐なら、3 から $L = L_0 = K(\mu_{q^n-1}(L))$ は $X^{q^n-1} - 1$ の最小分解体で、最小分解体の一意性（定理 6.6［多項式環と体の拡大］）から $K_n$ に同型です。$m \mid n$ のとき $K(\mu_{q^m-1}(K_n))$ は $K_m$ に同型な部分体で、3 の最後の議論から $m$ 次不分岐な部分体はこれだけです。

∎

定義 4.3（最大不分岐拡大）↗

$K$ の代数閉包 $\bar K$ を 1 つ固定する（その存在は選択公理による標準的な事実である。本記事の定理の証明では使わない）。$\bar K$ の中で $K^{\mathrm{ur}} := \bigcup_{n \ge 1}K(\mu_{q^n-1}(\bar K))$ を $K$ の最大不分岐拡大という。定理 4.2 から、$K^{\mathrm{ur}}$ は $\bar K$ に含まれる $K$ の有限次不分岐拡大すべての和集合で、$p$ と素な位数の 1 の冪根をすべて添加した体である。

第 1 章の Frobenius 元（定義 5.1［分解群・惰性群・Frobenius 元］）は、定理 3.1 の 5 の同型で局所体の不分岐拡大の Frobenius 元 $\varphi$ に対応します。局所体では不分岐拡大が次数だけで決まり、Galois 群が標準的な生成元つきの巡回群になる、というのがこの定理の内容です。

定理 4.4（不分岐拡大でのノルムとトレースの全射性）✓

$K$ を局所体、$L/K$ を $n$ 次の不分岐拡大とし、$U_K^{(m)} := 1 + \mathfrak{m}_K^m$（$m \ge 1$）、$U_K^{(0)} := \mathcal{O}_K^{\times}$ とおく（$L$ についても同様）。

1. $\mathrm{Tr}_{L/K}(\mathcal{O}_L) = \mathcal{O}_K$。
2. $N_{L/K}(\mathcal{O}_L^{\times}) = \mathcal{O}_K^{\times}$、より詳しくすべての $m \ge 0$ で $N_{L/K}(U_L^{(m)}) = U_K^{(m)}$。
3. $N_{L/K}(L^{\times}) = \pi_K^{n\mathbb{Z}} \times \mathcal{O}_K^{\times}$ で、$K^{\times}/N_{L/K}(L^{\times})$ は $\pi_K$ の類が生成する位数 $n$ の巡回群である。

証明（定理 4.4）

$G = \mathrm{Gal}(L/K)$ は位数 $n$ の巡回群で、還元により $\mathrm{Aut}(\kappa_L/\kappa_K) = \{x \mapsto x^{q^j} : 0 \le j < n\}$ と同型です（定理 4.2 の 2 と 4）。補題 2.2 の 2 から、$x \in \mathcal{O}_L$ について

$$\overline{N_{L/K}(x)} = \prod_{j=0}^{n-1}\bar x^{q^j} = \bar x^{(q^n-1)/(q-1)}, \qquad \overline{\mathrm{Tr}_{L/K}(x)} = \sum_{j=0}^{n-1}\bar x^{q^j}$$

です。

有限体での全射性。 $\kappa_L^{\times}$ は位数 $q^n - 1$ の巡回群なので、$y \mapsto y^{(q^n-1)/(q-1)}$ の像は位数 $q - 1$ の部分群で、$\kappa_K^{\times}$（位数 $q - 1$）に含まれるので一致します。また $y \mapsto \sum_jy^{q^j}$ は $\kappa_K$ 線形写像 $\kappa_L \to \kappa_K$ で、次数 $q^{n-1}$ の多項式なので $q^n$ 個の元すべてで $0$ にはならず、全射です。

1. $a \in \mathcal{O}_K$ とします。上から $\mathrm{Tr}(y_0) \equiv a \pmod{\pi_K}$ となる $y_0 \in \mathcal{O}_L$ があり、$a - \mathrm{Tr}(y_0) = \pi_Ka_1$ に同じことを繰り返すと $a = \mathrm{Tr}(y_0 + \pi_Ky_1 + \pi_K^2y_2 + \cdots)$ です（級数は収束し、$\mathrm{Tr} = \sum_\sigma\sigma$ は連続）。

2. $\pi = \pi_K$ は $L$ の素元でもあります。$m \ge 1$、$y \in \mathcal{O}_L$ について

$$N_{L/K}(1 + \pi^my) = \prod_{\sigma \in G}(1 + \pi^m\sigma y) \equiv 1 + \pi^m\,\mathrm{Tr}_{L/K}(y) \pmod{\pi^{m+1}}$$

です。$u \in U_K^{(m)}$ を取ります。$m = 0$ なら、有限体でのノルムの全射性から $N(x_0) \equiv u \pmod\pi$ となる $x_0 \in \mathcal{O}_L^{\times}$ があり、$u/N(x_0) \in U_K^{(1)}$ です。$m \ge 1$ で $u = 1 + \pi^ma$ なら、$\mathrm{Tr}(y) \equiv a \pmod\pi$ となる $y$ を取ると $u/N(1 + \pi^my) \in U_K^{(m+1)}$ です。これを繰り返して $x_k \in U_L^{(k)}$（$k \ge m$）を $u/N(x_mx_{m+1}\cdots x_k) \in U_K^{(k+1)}$ となるように選べます。部分積 $P_k = x_m\cdots x_k$ は $P_{k+1} - P_k = P_k(x_{k+1} - 1) \in \mathfrak{m}_L^{k+1}$ を満たすので Cauchy 列で、極限 $x \in U_L^{(m)}$（閉集合）に収束します。$N_{L/K}$ は連続（$\sigma$ たちの積）なので $N(x) = \lim N(P_k) = u$ です。逆の包含 $N(U_L^{(m)}) \subseteq U_K^{(m)}$ は上の合同式と $N(\mathcal{O}_L^{\times}) \subseteq \mathcal{O}_K^{\times}$（定理 2.6 の $v_K(N(x)) = fv_L(x)$）から従います。

3. $L^{\times} = \pi^{\mathbb{Z}} \times \mathcal{O}_L^{\times}$、$N(\pi) = \pi^n$ と 2 から従います。

∎

不分岐拡大では、ノルム剰余群 $K^{\times}/N(L^{\times})$ が付値だけで決まり、Galois 群と同じ位数 $n$ の巡回群になります。$\pi_K \mapsto \varphi$ がその間の同型を与える、というのが不分岐な場合の局所相互法則です（第 7 章）。

5. 完全分岐拡大

定理 5.1（完全分岐拡大と Eisenstein 多項式）✓

$K$ を完備離散付値体とする。

1. $L/K$ を $n$ 次の完全分岐拡大、$\pi_L$ を $L$ の素元とする。$\pi_L$ の $K$ 上の最小多項式は $n$ 次の Eisenstein 多項式で、$L = K(\pi_L)$、$\mathcal{O}_L = \mathcal{O}_K[\pi_L]$ である。
2. 逆に $g \in \mathcal{O}_K[X]$ を $n$ 次の Eisenstein 多項式とすると、$L = K[X]/(g)$ は $K$ の $n$ 次の完全分岐拡大で、$g$ の根 $\alpha = X \bmod g$ は $L$ の素元である。

証明（定理 5.1）

1. $f = 1$、$e = n$ なので、定理 2.6 から $1, \pi_L, \ldots, \pi_L^{n-1}$ が $\mathcal{O}_L$ の $\mathcal{O}_K$ 基底で、$\mathcal{O}_L = \mathcal{O}_K[\pi_L]$、$L = K(\pi_L)$ です。$\pi_L^n = -\sum_{j<n}c_j\pi_L^j$（$c_j \in \mathcal{O}_K$）と書くと、$g = X^n + \sum_{j<n}c_jX^j$ は $\pi_L$ を根にもつ $n = [K(\pi_L) : K]$ 次のモニック多項式なので最小多項式です。$g(\pi_L) = 0$ の各項の付値は、$v_L(\pi_L^n) = n$ と $v_L(c_j\pi_L^j) = nv_K(c_j) + j$ です。和が $0$ になるには最小の付値が 2 つ以上の項で実現されなければなりませんが、$n$ を法とする余りが一致するのは $\pi_L^n$ と $j = 0$ の項だけです。よって $nv_K(c_0) = n$ がその最小値で、$v_K(c_0) = 1$、$j \ge 1$ では $nv_K(c_j) + j > n$ から $v_K(c_j) \ge 1$ です。

2. $g$ は既約なので（系 7.4［付値と完備化］）$L$ は $n$ 次拡大です。$w = v_L$、$e = w(\pi_K)$、$g = X^n + \sum_{j<n}c_jX^j$ とします。$\alpha^n = -\sum_jc_j\alpha^j$ で $w(c_j) \ge e \ge 1$ です。$w(\alpha) \le 0$ とすると右辺の各項は $w(c_j\alpha^j) \ge e + jw(\alpha) > nw(\alpha)$ となって矛盾するので、$w(\alpha) \ge 1$ です。すると $j \ge 1$ の項は $w(c_j\alpha^j) \ge e + 1$、$j = 0$ の項は $w(c_0) = e$ で、$nw(\alpha) = e$ です。$e \le n$ なので $w(\alpha) = 1$、$e = n$ で、$f = n/e = 1$ です。

∎

定理 5.2（順完全分岐拡大の構造）✓

$K$ を完備離散付値体、$p$ を剰余体の標数（$0$ でもよい）とし、$L/K$ を次数 $e$ の完全分岐拡大で $p \nmid e$ とする。このとき $K$ の素元 $\pi$ と $\beta \in L$ で $\beta^e = \pi$、$L = K(\beta)$ となるものがある。すなわち $L = K(\sqrt[e]{\pi})$ である。

証明（定理 5.2）

$\pi_L^e = u\pi_K$、$u \in \mathcal{O}_L^{\times}$ と書けます。$f = 1$ なので $\kappa_L = \kappa_K$ で、$\bar u = \bar u_0$ となる $u_0 \in \mathcal{O}_K^{\times}$ があり、$u_1 := u/u_0 \in 1 + \mathfrak{m}_L$ です。多項式 $X^e - u_1$ の還元 $X^e - 1$ は $1$ を根にもち、微分 $e\cdot 1^{e-1} = e \ne 0$（$p \nmid e$）なので単根です。Hensel の補題（定理 6.1［付値と完備化］ の 2）から $t^e = u_1$ となる $t \in \mathcal{O}_L^{\times}$ があります。$\beta := \pi_L/t$、$\pi := u_0\pi_K$ とおくと $\beta^e = \pi_L^e/u_1 = u_0\pi_K = \pi$ で、$\pi$ は $K$ の素元です。$X^e - \pi$ は Eisenstein 多項式なので既約で、$[K(\beta) : K] = e = [L : K]$、$L = K(\beta)$ です。

∎

系 5.3（不分岐拡大の上の完全分岐拡大）✓

$K$ を局所体、$L/K$ を有限次拡大、$L_0$ を最大不分岐部分拡大とする。$L_0/K$ は次数 $f(L/K)$ の不分岐拡大、$L/L_0$ は次数 $e(L/K)$ の完全分岐拡大である。$L/K$ が順分岐なら、$L_0$ の素元 $\pi$ により $L = L_0(\sqrt[e]{\pi})$ と書ける。

証明（系 5.3）

定理 4.2 の 3 から $[L_0 : K] = f$、$\kappa_{L_0} = \kappa_L$ です。よって $f(L/L_0) = 1$ で、$[L : L_0] = ef/f = e$ です（定理 2.6）。最後の主張は 定理 5.2 を $L/L_0$ に使ったものです。

∎

6. Krasner の補題と拡大の有限性

この節では $K$ は標数 $0$ の完備離散付値体です。有限次 Galois 拡大 $M/K$ の絶対値は $\mathrm{Gal}(M/K)$ で不変です（定理 2.4 の 4）。

補題 6.1（Krasner の補題）✓

$K$ を標数 $0$ の完備離散付値体、$M/K$ を有限次 Galois 拡大、$\alpha, \beta \in M$ とする。$\alpha$ の $K$ 上の共役（$\sigma\alpha$、$\sigma \in \mathrm{Gal}(M/K)$）のうち $\alpha$ と異なるものすべて $\alpha'$ について

$$|\beta - \alpha| < |\alpha' - \alpha|$$

が成り立つならば、$K(\alpha) \subseteq K(\beta)$ である。

証明（補題 6.1）

$H = \mathrm{Gal}(M/K(\beta))$ とします。$\sigma \in H$ について $|\sigma\alpha - \beta| = |\sigma(\alpha - \beta)| = |\alpha - \beta|$ なので

$$|\sigma\alpha - \alpha| \le \max(|\sigma\alpha - \beta|, |\beta - \alpha|) = |\beta - \alpha|$$

です。$\sigma\alpha \ne \alpha$ なら仮定から $|\beta - \alpha| < |\sigma\alpha - \alpha|$ となって矛盾するので、$\sigma\alpha = \alpha$ です。よって $\alpha$ は $H$ の固定体 $K(\beta)$ に属します（定理 4.1［ガロア理論への招待］ の 2）。

∎

「$\beta$ が、$\alpha$ のどの共役よりも $\alpha$ に近ければ、$\beta$ は $\alpha$ を生成する」という主張です。実数では $\sqrt 2$ にいくら近い有理数を取っても $\sqrt 2$ は生成されませんから、これは非 Archimedes 的な世界に特有の現象です。

多項式 $h = \sum_ic_iX^i \in K[X]$ に対し $\|h\| := \max_i|c_i|$ とおきます。

系 6.2（係数が近い多項式は同じ拡大を生む）✓

$K$ を標数 $0$ の完備離散付値体、$g \in K[X]$ を $n$ 次のモニック既約多項式とする。ある $\delta > 0$ があって、$\|h - g\| < \delta$ を満たす任意の $n$ 次モニック多項式 $h \in K[X]$ は既約で、$h$ の任意の根 $\beta$（$gh$ の最小分解体の中で考える）に対し $g$ の根 $\alpha$ で $K(\beta) = K(\alpha)$ となるものがある。特に $K[X]/(h) \cong K[X]/(g)$ である。

証明（系 6.2）

$C := \max(1, \|g\|)$ とし、$g$ の最小分解体での根を $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$（標数 $0$ なので相異なる）、$r := \min_{i \ne j}|\alpha_i - \alpha_j| > 0$ とします。$\delta := \min(1, r^n/C^n)$ とおきます。

$\|h - g\| < \delta$ とし、$M$ を $gh$ の $K$ 上の最小分解体、$\beta \in M$ を $h$ の根とします。$\|h\| \le \max(\|g\|, \delta) \le C$ です。$|\beta| > C$ なら、$h(\beta) = 0$ の最高次の項 $\beta^n$ の絶対値が他のどの項 $|c_j\beta^j| \le C|\beta|^{n-1}$ よりも大きくなって矛盾するので、$|\beta| \le C$ です。よって

$$\prod_{i=1}^n|\beta - \alpha_i| = |g(\beta)| = |g(\beta) - h(\beta)| \le \|g - h\|\max(1, |\beta|)^{n-1} < \delta C^n \le r^n$$

で、ある $i$ について $|\beta - \alpha_i| < r \le |\alpha_j - \alpha_i|$（$j \ne i$）です。補題 6.1 から $K(\alpha_i) \subseteq K(\beta)$ で、$[K(\alpha_i) : K] = n \ge [K(\beta) : K]$ なので $K(\beta) = K(\alpha_i)$、$[K(\beta) : K] = n$ です。したがって $h$ は $\beta$ の最小多項式で既約、$K[X]/(h) \cong K(\beta) = K(\alpha_i) \cong K[X]/(g)$ です。

∎

命題 6.3（局所体の位相）✓

$K$ を局所体とする。

1. $\mathcal{O}_K/\mathfrak{m}_K^n$ は元の個数 $q^n$ の有限環である。
2. $\mathcal{O}_K$ と $\mathfrak{m}_K^n$（$n \in \mathbb{Z}$。$n < 0$ では $\pi_K^n\mathcal{O}_K$）はコンパクトな開部分群で、$\mathfrak{m}_K^n$（$n \ge 0$）は $0$ の基本近傍系をなす。$K$ は局所コンパクト Hausdorff 位相体である。
3. $\mathcal{O}_K^{\times}$ はコンパクトで、$U_K^{(n)} = 1 + \mathfrak{m}_K^n$（$n \ge 1$）は $K^{\times}$ のコンパクトな開部分群であり、$1$ の基本近傍系をなす。$K^{\times}$ は局所コンパクト群である。

証明（命題 6.3）

1. $\pi_K^j$ 倍は同型 $\mathcal{O}_K/\mathfrak{m}_K \to \mathfrak{m}_K^j/\mathfrak{m}_K^{j+1}$ を与えるので、$|\mathcal{O}_K/\mathfrak{m}_K^n| = \prod_{j<n}|\mathfrak{m}_K^j/\mathfrak{m}_K^{j+1}| = q^n$ です。

2. $\mathcal{O}_K$ は完備な $K$ の閉集合なので完備で、1 から $q^n$ 個の剰余類 $a + \mathfrak{m}_K^n$（半径 $c^{-n}$ の閉球）で覆われるので全有界です。よってコンパクトです（定理 4.3［距離空間］）。$\mathfrak{m}_K^n = \{|x| \le c^{-n}\} = \{|x| < c^{-n+1}\}$ は開球でもあるので開集合で、$\mathcal{O}_K$ と同相なのでコンパクト、強三角不等式から加法部分群です。各点 $x$ はコンパクトな近傍 $x + \mathcal{O}_K$ をもち、体の演算は連続です。

3. $\mathcal{O}_K^{\times} = \mathcal{O}_K \setminus \mathfrak{m}_K$ はコンパクト集合の閉集合です（定理 4.1［コンパクト性］）。$U_K^{(n)} = 1 + \mathfrak{m}_K^n$ は 2 からコンパクトな開集合で、$(1 + x)(1 + y) = 1 + (x + y + xy)$、$(1 + x)^{-1} = 1 - x + x^2 - \cdots$ から乗法群です。乗法と逆元は連続なので $K^{\times}$ は位相群（定義 7.1［局所コンパクト空間］）で、各点 $x$ はコンパクトな近傍 $xU_K^{(1)}$ をもちます。

∎

定理 6.4（標数 0 の局所体の拡大の有限性）✓

$K$ を標数 $0$ の局所体、$n \ge 1$ とする。$K$ の $n$ 次拡大は、$K$ 上の同型を除いて有限個である。

証明（定理 6.4）

$L/K$ を $n$ 次拡大、$f = f(L/K)$、$e = n/f$ とします。系 5.3 と 定理 4.2 の 4 から、$L$ は $K_f$ に $K$ 上同型な部分体 $L_0$ をもち、$L/L_0$ は $e$ 次の完全分岐拡大です。$K$ 上の同型 $L_0 \cong K_f$ で $L$ を $K_f$ の拡大と見なすと、定理 5.1 から $L \cong K_f[X]/(g)$、$g$ は $K_f$ 上の $e$ 次 Eisenstein 多項式です。$n$ の約数 $f$ は有限個なので、局所体 $F$（$= K_f$。標数 $0$）と $e \ge 1$ について、$F[X]/(g)$（$g$ は $e$ 次 Eisenstein 多項式）の $F$ 上の同型類が有限個であることを示せば足ります。

$e$ 次 Eisenstein 多項式 $X^e + \sum_{j<e}c_jX^j$ を係数の組 $(c_0, \ldots, c_{e-1})$ と同一視すると、その全体は

$$\mathcal{E} = (\mathfrak{m}_F \setminus \mathfrak{m}_F^2) \times \mathfrak{m}_F^{e-1} \subseteq F^e$$

です（この式の $\mathfrak{m}_F^{e-1}$ はイデアルの冪ではなく、$\mathfrak{m}_F$ の $e - 1$ 個の直積 $\mathfrak{m}_F \times \cdots \times \mathfrak{m}_F$ です。$c_0 \in \mathfrak{m}_F \setminus \mathfrak{m}_F^2$、$c_1, \ldots, c_{e-1} \in \mathfrak{m}_F$）。$\mathfrak{m}_F$ はコンパクトで $\mathfrak{m}_F^2$ は開集合なので、$\mathcal{E}$ はコンパクト集合の有限直積としてコンパクトです（命題 6.3。距離 $\|g - h\|$ に関して点列コンパクトであることは座標ごとに部分列を取れば分かります）。各 $g \in \mathcal{E}$ に 系 6.2 の $\delta_g > 0$ を取ると、開球 $B(g, \delta_g)$ に属する $h \in \mathcal{E}$ はすべて $F[X]/(h) \cong F[X]/(g)$ を満たします。コンパクト性から有限個の $g_1, \ldots, g_r$ で $\mathcal{E} \subseteq \bigcup_iB(g_i, \delta_{g_i})$ となり、同型類は高々 $r$ 個です。

∎

系 6.5（$ℚ_p$ の有限次拡大は代数体の完備化）✓

1. 代数体 $K$ と、素数 $p$ の上の素イデアル $\mathfrak{p}$ について、完備化 $K_{\mathfrak{p}}$ は $\mathbb{Q}_p$ の有限次拡大で、$[K_{\mathfrak{p}} : \mathbb{Q}_p] = e(\mathfrak{p} \mid p)f(\mathfrak{p} \mid p)$ である。
2. 逆に $F$ を $\mathbb{Q}_p$ の $n$ 次拡大とすると、$F$ の中で稠密な $n$ 次の代数体 $K \subseteq F$ と、$K$ の素イデアル $\mathfrak{p} \mid p$ で、$F$ が $K$ の $\mathfrak{p}$ 進完備化になるものがある。

証明（系 6.5）

1. 定理 3.1 を $K/\mathbb{Q}$ に使ったものです。

2. $F$ は 1 つの元で生成される。 $F_0$ を $F/\mathbb{Q}_p$ の最大不分岐部分拡大、$\zeta \in F$ を $F_0 = \mathbb{Q}_p(\zeta)$ となる 1 の冪根（定理 4.2 の 3）、$\pi$ を $F$ の素元とします。$F = F_0(\pi)$ です（系 5.3、定理 5.1）。$\alpha := \zeta + \pi$ とおきます。$\mathbb{Q}_p(\alpha)$ は $\mathbb{Q}_p$ の有限次拡大なので完備で、$F$ の閉集合です。補題 4.1 から $\alpha^{q_F^k} \to \omega(\alpha) = \zeta$（$\alpha \equiv \zeta \pmod{\mathfrak{m}_F}$ で、$\zeta$ は還元が $\bar\alpha$ の 1 の $(q_F - 1)$ 乗根）なので $\zeta \in \mathbb{Q}_p(\alpha)$、したがって $\pi = \alpha - \zeta \in \mathbb{Q}_p(\alpha)$ で、$F = \mathbb{Q}_p(\alpha)$ です。

近似。 $g \in \mathbb{Q}_p[X]$ を $\alpha$ の最小多項式（$n$ 次）とし、系 6.2 の $\delta$ を取ります。$\mathbb{Q}$ は $\mathbb{Q}_p$ で稠密なので、$\|h - g\| < \delta$ となる $n$ 次モニック多項式 $h \in \mathbb{Q}[X]$ があります。同系から $h$ は $\mathbb{Q}_p$ 上既約（したがって $\mathbb{Q}$ 上既約）で、$\mathbb{Q}_p[X]/(h) \cong \mathbb{Q}_p[X]/(g) \cong F$ です。この同型による $X$ の像 $\beta \in F$ は $h$ の根で、$F = \mathbb{Q}_p(\beta)$ です。$K := \mathbb{Q}(\beta) \subseteq F$ は $n$ 次の代数体です。$K$ の $F$ での閉包は部分体で $\mathbb{Q}_p$ と $\beta$ を含むので $F$ です。$F$ の絶対値の $K$ への制限は自明でない非 Archimedes 的な絶対値なので、ある素イデアル $\mathfrak{p}$ の $|\cdot|_{\mathfrak{p}}$ に同値で（定理 8.3［付値と完備化］）、$\mathbb{Q}$ への制限が $|\cdot|_p$ に同値なので $\mathfrak{p} \mid p$ です。$F$ は完備で $K$ が稠密ですから、$F$ は $K$ の $\mathfrak{p}$ 進完備化です。

∎

したがって「$\mathbb{Q}_p$ の有限次拡大」と「代数体の有限素点での完備化」は同じものです。標数 $0$ の局所体 $K$（剰余標数 $p$）もこれに含まれます。実際、$K$ の絶対値の $\mathbb{Q}$ への制限は $|p| < 1$ を満たす非 Archimedes 的な絶対値なので $|\cdot|_p$ に同値で（定理 3.1［付値と完備化］）、$\mathbb{Q}$ の $K$ での閉包は $\mathbb{Q}_p$ と同一視できます（定理 4.2［付値と完備化］ の 2）。$\kappa_K$ の $\mathbb{F}_p$ 基底の持ち上げ $\omega_1, \ldots, \omega_f$ と $e_0 = v_K(p)$ について、定理 2.6 の証明の「生成」の段（$\pi_K$ を $p$、$\pi_L$ を $\pi_K$、$e$ を $e_0$ に読み替える。使うのは $\mathbb{Z}_p$ の完備性だけです）から $\mathcal{O}_K = \sum_{i,j}\mathbb{Z}_p\,\omega_i\pi_K^j$（$0 \le j < e_0$）で、$[K : \mathbb{Q}_p] \le e_0f$ は有限です。

7. 乗法群の構造

この節のねらいは、局所体の乗法群 $K^{\times}$ を、素元の冪・1 の冪根・「1 に近い単数」の 3 つの部分に分けて理解することです。標数 $0$ の場合、$1$ に十分近い単数の部分 $U^{(n)}$ では、$p$ 進対数が掛け算を足し算に変えるので、その部分の乗法群が加法群 $\mathfrak{m}^n$ と同じ形になります。ここで使う対数の定義域は 1 に十分近い範囲だけで、その範囲が定義の条件 $n > e_0/(p - 1)$ です。

定義 7.1（単数群のフィルターと p 進対数）↗

$K$ を局所体、$U_K := \mathcal{O}_K^{\times}$、$U_K^{(n)} := 1 + \mathfrak{m}_K^n$（$n \ge 1$）とする。$U_K \supseteq U_K^{(1)} \supseteq U_K^{(2)} \supseteq \cdots$ を単数群のフィルターという。$K$ の標数が $0$ のとき $e_0 := v_K(p)$ を絶対分岐指数という。$n > e_0/(p - 1)$ と $x \in U_K^{(n)}$ に対し

$$\log x := \lim_{j \to \infty}\frac{x^{p^j} - 1}{p^j}$$

を $p$ 進対数という（極限の存在は 定理 7.2 で示す）。$\log \colon U_K^{(n)} \to \mathfrak{m}_K^n$ の逆写像を $p$ 進指数といい $\exp$ と書く。

$\log$ は通常、級数 $\sum_{k \ge 1}(-1)^{k+1}(x - 1)^k/k$ で定義されます。上の極限による定義は同じ関数を与えますが、本記事ではこの定義だけを使うので、級数との一致は使いません。極限による定義では、準同型であることがほとんど自明になります。

定理 7.2（局所体の乗法群の構造）✓

$K$ を局所体、$q = |\kappa_K|$、$p$ を剰余標数、$\pi$ を素元、$v = v_K$、$U = U_K$、$U^{(n)} = U_K^{(n)}$ とする。

1. $K^{\times} = \pi^{\mathbb{Z}} \times \mu_{q-1}(K) \times U^{(1)}$（内部直積）。$U/U^{(1)} \cong \kappa_K^{\times}$ で、$n \ge 1$ について $1 + \pi^na \mapsto \bar a$ は同型 $U^{(n)}/U^{(n+1)} \cong (\kappa_K, +)$ である。特に $[U : U^{(n)}] = (q - 1)q^{n-1}$。
2. $K$ の標数が $0$ で $n > e_0/(p - 1)$ とする。$x \in U^{(n)}$ について極限 $\log x$ が存在し、$v(\log x) = v(x - 1)$、$v(\log x - (x - 1)) > v(x - 1)$ である。$\log \colon U^{(n)} \to \mathfrak{m}_K^n$ は位相群の同型（乗法群から加法群へ）で、$v(\log x - \log y) = v(x - y)$ を満たす。
3. 2 の仮定のもとで、任意の整数 $m \ge 1$ について $(U^{(n)})^m = U^{(n + v(m))}$ で、$x \mapsto x^m$ は同型 $U^{(n)} \to U^{(n+v(m))}$ である。特に $U^{(n)}$ は単位元以外に位数有限の元をもたない。
4. $K$ の標数が $0$ のとき、任意の整数 $m \ge 1$ について

$$[K^{\times} : (K^{\times})^m] = m\cdot q^{v(m)}\cdot|\mu_m(K)|, \qquad [U : U^m] = q^{v(m)}\cdot|\mu_m(K)|.$$

ここで $\mu_m(K)$ は $K$ に含まれる 1 の $m$ 乗根の群である。

証明（定理 7.2）

1. $K^{\times} = \pi^{\mathbb{Z}} \times U$ は離散付値環の性質です（命題 3.2［離散付値環と Dedekind 環］）。還元 $U \to \kappa_K^{\times}$ は全射準同型で核は $U^{(1)}$、補題 4.1 の $\mu_{q-1}(K)$ がその切断を与えるので $U = \mu_{q-1}(K) \times U^{(1)}$ です。$n \ge 1$ について $(1 + \pi^na)(1 + \pi^nb) = 1 + \pi^n(a + b) + \pi^{2n}ab$ なので、$1 + \pi^na \mapsto \bar a$ は $U^{(n)}$ から $(\kappa_K, +)$ への全射準同型で、核は $U^{(n+1)}$ です。指数は $|\kappa_K^{\times}|\cdot|\kappa_K|^{n-1}$ です。

2. $x \in U^{(n)}$、$x \ne 1$、$c := v(x - 1) \ge n$ とし、$z_j := x^{p^j} - 1$、$y_j := z_j/p^j$ とおきます。

まず $v(z_j) = c + je_0$ を帰納法で示します。$c' := v(z_j) > e_0/(p - 1)$ とすると

$$z_{j+1} = (1 + z_j)^p - 1 = pz_j + \sum_{k=2}^{p-1}\binom pkz_j^k + z_j^p$$

で、第 1 項の付値は $e_0 + c'$、中間の項は $e_0 + 2c'$ 以上、最後の項は $pc'$ です。$pc' > e_0 + c'$ は $(p - 1)c' > e_0$ と同値なので、第 1 項の付値が真に最小で $v(z_{j+1}) = c' + e_0$ です。

同じ式から

$$y_{j+1} - y_j = \frac{z_{j+1} - pz_j}{p^{j+1}} = \frac{1}{p^{j+1}}\Bigl(\sum_{k=2}^{p-1}\binom pkz_j^k + z_j^p\Bigr)$$

で、付値は $\min\bigl(2c + je_0,\ pc - e_0 + (p - 1)je_0\bigr) \ge \gamma + je_0$ 以上です。ここで $\gamma := \min(2c, pc - e_0) > c$ です。よって $(y_j)$ は Cauchy 列で、極限 $\log x$ が存在し、$v(\log x - y_0) \ge \gamma > c$ です。$y_0 = x - 1$ なので $v(\log x - (x - 1)) > v(x - 1)$、したがって $v(\log x) = c$ です。$x = 1$ では $\log 1 = 0$ です。

準同型性：$x, x' \in U^{(n)}$ について $(xx')^{p^j} - 1 = z_j + z'_j + z_jz'_j$（$z'_j = x'^{p^j} - 1$）で、$v(z_jz'_j/p^j) \ge 2n + 2je_0 - je_0 \to \infty$ なので、$p^j$ で割って極限を取ると $\log(xx') = \log x + \log x'$ です。

$\log x = 0$ なら $v(x - 1) = v(\log x) = \infty$ で $x = 1$、よって単射です。$v(\log x - \log y) = v(\log(x/y)) = v(x/y - 1) = v(x - y)$ なので $\log$ とその逆写像は連続です。全射性：$z \in \mathfrak{m}_K^n$ に対し、$x_0 = 1$ から始めて $d_k := z - \log x_k$、$x_{k+1} := x_k(1 + d_k)$ と定めます。$v(d_k) \ge n + k$ を帰納法で示します。$k = 0$ は $d_0 = z$ です。$v(d_k) \ge n + k$ なら $1 + d_k \in U^{(n)}$ で、$d_{k+1} = d_k - \log(1 + d_k)$ の付値は $v(d_k)$ より真に大きいので $n + k + 1$ 以上です。$x_{k+1} - x_k = x_kd_k \to 0$ なので $x_k$ は $x \in U^{(n)}$ に収束し、連続性から $\log x = z$ です。

3. 2 の同型で $x \mapsto x^m$ は $m$ 倍写像 $\mathfrak{m}_K^n \to \mathfrak{m}_K^n$ に対応します。$m$ 倍は単射で像は $m\mathfrak{m}_K^n = \mathfrak{m}_K^{n+v(m)}$ です。$v(\log x) = v(x - 1)$ から $\log^{-1}(\mathfrak{m}_K^{n+v(m)}) = U^{(n+v(m))}$ なので、$(U^{(n)})^m = U^{(n+v(m))}$ で $x \mapsto x^m$ は単射です。

4. $n > e_0/(p - 1)$ を固定し、$A = U$、$B = U^{(n)}$、$C = A/B$（有限群）とおきます。$m$ 乗写像は完全列 $1 \to B \to A \to C \to 1$ の自己準同型で、蛇の補題（補題 4.1［加群・完全列・中山の補題］。Abel 群を $\mathbb{Z}$ 加群と見る）から、核 $X[m] := \{x : x^m = 1\}$ と余核 $X/X^m$ の完全列

$$1 \to B[m] \to A[m] \to C[m] \to B/B^m \to A/A^m \to C/C^m \to 1$$

が得られます。3 から $B[m] = 1$、$|B/B^m| = [U^{(n)} : U^{(n+v(m))}] = q^{v(m)}$（1 による）です。$C$ は有限なので $|C[m]| = |C|/|C^m| = |C/C^m|$ です。有限 Abel 群の完全列では、各項の位数が「入ってくる写像の像の位数」と「出ていく写像の像の位数」の積なので、位数の交代積は $1$ です。したがって $A/A^m$ は有限で

$$|A/A^m| = \frac{|A[m]|\cdot|B/B^m|\cdot|C/C^m|}{|B[m]|\cdot|C[m]|} = |A[m]|\cdot q^{v(m)}$$

です。1 の冪根は絶対値が $1$ なので $A[m] = \mu_m(K)$ です。$K^{\times} = \pi^{\mathbb{Z}} \times U$ から $K^{\times}/(K^{\times})^m \cong \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times U/U^m$ で、指数は $m\,q^{v(m)}|\mu_m(K)|$ です。

∎

$K = \mathbb{Q}_p$、$m = 2$ とすると、$p$ が奇数なら $2 \cdot 1 \cdot 2 = 4$、$p = 2$ なら $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ で、命題 6.6［付値と完備化］ と一致します。また 2 から $U^{(n)} \cong \mathfrak{m}_K^n \cong \mathcal{O}_K$（$\pi^n$ 倍）で、$\mathcal{O}_K$ は階数 $[K : \mathbb{Q}_p]$ の自由 $\mathbb{Z}_p$ 加群です（定理 2.6）。乗法群 $K^{\times}$ は、有限群と $\mathbb{Z}$ を除けば加法群 $\mathbb{Z}_p^{[K:\mathbb{Q}_p]}$ と同じ形をしています。

8. 局所体の分岐群

命題 8.1（局所体の高次分岐群）✓

$K$ を標数 $0$ の局所体、$L/K$ を有限次 Galois 拡大、$G = \mathrm{Gal}(L/K)$ とし、

$$G_i := \{\sigma \in G \mid \text{すべての } x \in \mathcal{O}_L \text{ で } v_L(\sigma x - x) \ge i + 1\} \qquad (i \ge 0)$$

とおく。

1. 組 $(\mathcal{O}_K, K, L, \mathcal{O}_L)$ は第 1 章 2.1 節の仮定を満たし、$\mathfrak{m}_L$ の分解群は $G$、惰性群は $G_0$、第 $i$ 分岐群は $G_i$ である。$G_0$ の固定体は最大不分岐部分拡大 $L_0$ で、$G/G_0 \cong \mathrm{Gal}(\kappa_L/\kappa_K)$、$|G_0| = e(L/K)$ である。
2. $G_0/G_1$ は $\kappa_L^{\times}$ の部分群に同型な巡回群、$G_i/G_{i+1}$（$i \ge 1$）は $(\kappa_L, +)$ の部分群に同型で、$G_1$ は $p$ 群、$G$ は可解群である。$L/K$ が順分岐であることと $G_1 = 1$ は同値である。
3. $v_L(\mathfrak{D}_{L/K}) = \sum_{i \ge 0}(|G_i| - 1)$。$L/K$ が不分岐であることと $\mathfrak{D}_{L/K} = \mathcal{O}_L$ は同値である。
4. $L'/K'$ を代数体の Galois 拡大、$\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}$ をその素イデアル、$L = L'_{\mathfrak{P}}$、$K = K'_{\mathfrak{p}}$ とする。定理 3.1 の同型 $D(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}) \cong \mathrm{Gal}(L/K)$ のもとで、第 1 章の分岐群 $G_i(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p})$ は上の $G_i$ に対応する。

証明（命題 8.1）

1. $\mathcal{O}_K$ は離散付値環なので Dedekind 整域、$K$ は標数 $0$、剰余体は有限で、$\mathcal{O}_L$ は $L$ での $\mathcal{O}_K$ の整閉包です（定理 2.4）。$\mathcal{O}_L$ の $0$ でない素イデアルは $\mathfrak{m}_L$ だけなので、分解群は $G$ 全体です。$\mathfrak{m}_L^{i+1} = \{y : v_L(y) \ge i + 1\}$ なので、第 1 章の定義（定義 9.1［分解群・惰性群・Frobenius 元］）は上の $G_i$ と一致し、$G_0$ は惰性群です。定理 3.4［分解群・惰性群・Frobenius 元］ と 定理 4.1［分解群・惰性群・Frobenius 元］ から $G/G_0 \cong \mathrm{Gal}(\kappa_L/\kappa_K)$、$|G_0| = e$、惰性体 $L^{G_0}$ は $K$ 上 $f$ 次の不分岐拡大です。定理 4.2 の 3 から $L^{G_0} \subseteq L_0$ で、次数が等しいので一致します。

2 と 3 は 定理 9.3［分解群・惰性群・Frobenius 元］、定理 9.4［分解群・惰性群・Frobenius 元］、定理 8.8［分解群・惰性群・Frobenius 元］ です（$\mathfrak{m}_L^i/\mathfrak{m}_L^{i+1} \cong \kappa_L$。$\mathfrak{D}_{L/K} = \mathcal{O}_L$ は $v_L(\mathfrak{D}_{L/K}) = 0$、すなわち $e = 1$ と同値）。

4. $\sigma \in D(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p})$ の連続な延長を $\hat\sigma$ とします。$\mathcal{O}_L$ は $\mathcal{O}_{L'}$ の $\mathfrak{P}$ での局所化の閉包で（命題 4.3［付値と完備化］）、$\mathcal{O}_L = \mathcal{O}_{L'} + \mathfrak{m}_L^{i+1}$ です（同命題の 2 と、$\mathcal{O}_{L'}/\mathfrak{P}^{i+1}$ が局所化で変わらないこと）。$x \in \mathcal{O}_L$ を $x = b + y$（$b \in \mathcal{O}_{L'}$、$y \in \mathfrak{m}_L^{i+1}$）と書くと $\hat\sigma x - x = (\sigma b - b) + (\hat\sigma y - y)$ で、$\hat\sigma$ は付値を保つので第 2 項は $\mathfrak{m}_L^{i+1}$ に属します。よって「すべての $b \in \mathcal{O}_{L'}$ で $\sigma b - b \in \mathfrak{P}^{i+1}$」と「すべての $x \in \mathcal{O}_L$ で $v_L(\hat\sigma x - x) \ge i + 1$」は同値です（$\mathfrak{m}_L^{i+1} \cap \mathcal{O}_{L'} = \mathfrak{P}^{i+1}$）。

∎

これで第 1 章の分岐の理論はすべて局所体の言葉に翻訳されました。大域体の素イデアル $\mathfrak{P}$ での分岐は、完備化 $L'_{\mathfrak{P}}/K'_{\mathfrak{p}}$ だけで決まります。

注意 8.2（上付き番号と Hasse–Arf の定理（主張のみ））

下付き番号の分岐群は部分群に移るときよく振る舞いますが（$H_i = G_i \cap H$）、商群に移ると番号がずれます。Herbrand の関数 $\phi(u) = \int_0^u dt/[G_0 : G_t]$ で番号を付け替えた上付き番号 $G^{\phi(u)} := G_u$ は、商に移るとき $(G/H)^v = G^vH/H$ とよく振る舞い、無限次拡大の分岐群を定義できます。$G$ が Abel 群のとき、上付き番号のフィルターが跳ぶ番号はすべて整数です（Hasse–Arf の定理）。局所類体論では、相互写像が $U_K^{(n)}$ を $G^n$ の上に移します。これらは本記事では証明しません。J.-P. Serre, Local Fields の第 IV 章 §3 と第 V 章 §7 にあります。

注意 8.3（局所コンパクト体の分類と $ℂ_p$（主張のみ））

離散的でない局所コンパクト位相体は、$\mathbb{R}$、$\mathbb{C}$、$\mathbb{Q}_p$ の有限次拡大、$\mathbb{F}_q((t))$ のどれかに同型です（A. Weil, Basic Number Theory の第 I 章）。本記事で「局所体」と呼んだもの（と $\mathbb{R}$、$\mathbb{C}$）がそのすべてです。一方、$\mathbb{Q}_p$ の代数閉包 $\bar{\mathbb{Q}}_p$ は無限次拡大で、絶対値は一意に延びますが完備ではありません。その完備化 $\mathbb{C}_p$ は代数閉体になります（N. Koblitz, p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions の第 III 章）。$\mathbb{C}_p$ は局所コンパクトではなく、付値も離散的でありません。

9. 例

例 9.1（$ℚ_p$ の 2 次拡大）

標数が $2$ でない体 $K$ の 2 次拡大は $K(\sqrt a)$（$a \in K^{\times} \setminus (K^{\times})^2$）の形で、$K(\sqrt a) = K(\sqrt b)$ は $a/b \in (K^{\times})^2$ と同値です（$\sqrt b = x + y\sqrt a$ を 2 乗して $2xy = 0$、$y \ne 0$ から $x = 0$、$b = ay^2$）。よって 2 次拡大は $K^{\times}/(K^{\times})^2$ の単位元でない元と 1 対 1 に対応します。命題 6.6［付値と完備化］ から次が得られます。

• $p$ が奇数：3 個。$u$ を平方非剰余な単数として、$\mathbb{Q}_p(\sqrt u)$（不分岐。$X^2 - u$ が $\mathbb{F}_p$ 上既約）、$\mathbb{Q}_p(\sqrt p)$、$\mathbb{Q}_p(\sqrt{up})$（どちらも Eisenstein 多項式 $X^2 - p$、$X^2 - up$ による完全分岐）。
• $p = 2$：7 個。$\mathbb{Q}_2(\sqrt a)$、$a \in \{-1, \pm 5, \pm 2, \pm 10\}$。不分岐なのは $\mathbb{Q}_2(\sqrt 5)$ だけです（$(1 + \sqrt 5)/2$ は $X^2 - X - 1$ の根で、これは $\mathbb{F}_2$ 上既約）。$-3 \equiv 5 \pmod 8$ なので $\mathbb{Q}_2(\sqrt 5) = \mathbb{Q}_2(\sqrt{-3}) = \mathbb{Q}_2(\zeta_3)$ で、定理 4.2 の $K_2 = K(\zeta_{2^2-1})$ と合っています。

素元の例：$\mathbb{Q}_2(i)$ では $(1 + i)^2 = 2i$ から $1 + i$ が素元で $e = 2$。$\mathbb{Q}_2(\sqrt 2)$ では $\sqrt 2$。$\mathbb{Q}_3(\zeta_3) = \mathbb{Q}_3(\sqrt{-3})$ では $\sqrt{-3}$（または $1 - \zeta_3$）で $e = 2$、$3 \nmid 2$ の順分岐で、定理 5.2 の形 $\mathbb{Q}_3(\sqrt{-3})$ になっています。

例 9.2（$ℚ_p(ζ_{p^n})$ の分岐群）

$L = \mathbb{Q}_p(\zeta)$、$\zeta$ を 1 の原始 $p^n$ 乗根とします。$\Phi_{p^n}(X) = (X^{p^n} - 1)/(X^{p^{n-1}} - 1)$ は $\mathbb{F}_p[X]$ で $(X - 1)^{p^n - p^{n-1}}$ に合同で、$\Phi_{p^n}(1) = p$ ですから、$\Phi_{p^n}(X + 1)$ は Eisenstein 多項式です。定理 5.1 から $L/\mathbb{Q}_p$ は $\varphi(p^n)$ 次の完全分岐拡大で、$\pi = \zeta - 1$ が素元、$\mathcal{O}_L = \mathbb{Z}_p[\zeta]$ です。$L$ は $X^{p^n} - 1$ の最小分解体なので Galois 拡大で、$\sigma \mapsto a$（$\sigma\zeta = \zeta^a$）は単射 $G \to (\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})^{\times}$、位数を比べて同型です。$n = 1$ なら $\mathbb{Q}_p(\zeta_p)$ は $p - 1$ 次の順完全分岐拡大です。

$a \not\equiv 1 \pmod{p^n}$、$k = v_p(a - 1)$ とします。$\sigma_a\pi - \pi = \zeta^a - \zeta = \zeta(\zeta^{a-1} - 1)$ で、$\zeta^{a-1}$ は 1 の原始 $p^{n-k}$ 乗根です。$\zeta^{a-1} - 1$ は部分体 $\mathbb{Q}_p(\zeta_{p^{n-k}})$ の素元で、$L$ はその上 $p^k$ 次の完全分岐拡大ですから $v_L(\sigma_a\pi - \pi) = p^k$ です。定理 9.3［分解群・惰性群・Frobenius 元］ の 2 から $\sigma_a \in G_i \iff p^{v_p(a-1)} > i$ で、$G(k) := \{\sigma_a : a \equiv 1 \pmod{p^k}\}$ とおくと

$$G_0 = G, \qquad G_i = G(k) \quad (p^{k-1} \le i < p^k,\ 1 \le k \le n - 1), \qquad G_i = 1 \quad (i \ge p^{n-1})$$

です。Hilbert の公式を $n = 2$ で確かめると、$(p(p - 1) - 1) + (p - 1)(p - 1) = p(2p - 3)$ で、第 2 章 の判別式の指数 $p^{k-1}(pk - k - 1)$（$k = 2$）に一致します。フィルターが跳ぶ番号 $0, p - 1, p^2 - 1, \ldots$ は不規則に見えますが、上付き番号に直すと $0, 1, 2, \ldots$ になり、$G^k = G(k)$ が単数群のフィルター $U^{(k)}_{\mathbb{Q}_p} = 1 + p^k\mathbb{Z}_p$ に対応します。

例 9.3（標数 p では有限性が破れる：Artin–Schreier 拡大）

$K = \mathbb{F}_q((t))$（標数 $p$）、$m$ を $p$ で割れない正の整数とし、$g_m = X^p - X - t^{-m}$ の根 $\alpha$ を添加した体を $L_m = K(\alpha)$ とします。$\alpha^p - \alpha = t^{-m}$ から $v_{L_m}(\alpha) < 0$ で、$v(\alpha^p) < v(\alpha)$ なので $p\,v_{L_m}(\alpha) = -m\,e$ です。$p \nmid m$ から $p \mid e$、$e \le [L_m : K] \le p$ なので $e = p = [L_m : K]$、$v_{L_m}(\alpha) = -m$ で、$L_m/K$ は $p$ 次の完全分岐拡大（野性分岐）です。$g_m$ の根は $\alpha + j$（$j \in \mathbb{F}_p$）で、$\sigma \colon \alpha \mapsto \alpha + 1$ は位数 $p$ の自己同型です。

$-am + bp = 1$ となる整数 $a, b$ を取ると $\pi = \alpha^at^b$ は素元で、$\sigma\pi/\pi = (1 + 1/\alpha)^a = 1 + a/\alpha + \cdots$、$p \nmid a$ から $v_{L_m}(\sigma\pi - \pi) = 1 + m$ です。$\mathcal{O}_{L_m} = \mathcal{O}_K[\pi]$ なので、この値は $\min_{x \in \mathcal{O}_{L_m}}v_{L_m}(\sigma x - x)$ に等しく、$\sigma$ の冪（単位元以外）でも同じです。これは拡大 $L_m/K$ の同型類だけで決まる量なので、$m \ne m'$ なら $L_m \not\cong L_{m'}$ です。よって $K$ は互いに同型でない $p$ 次拡大を無限個もち、定理 6.4 は標数 $p$ では成り立ちません。証明のどこが壊れるかというと、Eisenstein 多項式の空間はコンパクトのままですが、分離的でない多項式が現れて 系 6.2 の $r > 0$ が取れなくなります。

10. 演習

演習 10.1易

次の拡大の $(e, f)$ と素元を求めよ：$\mathbb{Q}_3(\sqrt 2)$、$\mathbb{Q}_3(\sqrt 3)$、$\mathbb{Q}_2(\sqrt{-3})$、$\mathbb{Q}_5(\sqrt[3]{5})$。

解答

• $\mathbb{Q}_3(\sqrt 2)$：$2$ は $3$ を法として平方非剰余なので $X^2 - 2$ は $\mathbb{F}_3$ 上既約で、剰余体は $\mathbb{F}_9$ を含みます。$f = 2$、$e = 1$、素元は $3$ です。
• $\mathbb{Q}_3(\sqrt 3)$：$X^2 - 3$ は Eisenstein 多項式なので $e = 2$、$f = 1$、素元は $\sqrt 3$ です（定理 5.1）。
• $\mathbb{Q}_2(\sqrt{-3})$：$\zeta_3 = (-1 + \sqrt{-3})/2$ は $X^2 + X + 1$ の根で、これは $\mathbb{F}_2$ 上既約です。$f = 2$、$e = 1$、素元は $2$ です。$X^2 + 3$ そのものは $\mathbb{F}_2$ で $(X + 1)^2$ になり、生成元の選び方で還元の見え方が変わることに注意してください。
• $\mathbb{Q}_5(\sqrt[3]{5})$：$X^3 - 5$ は Eisenstein 多項式で $e = 3$、$f = 1$、素元は $\sqrt[3]{5}$。$5 \nmid 3$ の順分岐です。

演習 10.2標準

$L = \mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ について、$L \otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q}_p$（$p = 2, 3, 5, 7, 11$）と $L \otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{R}$ を体の直積として記述せよ。

解答

定理 3.1 の証明から、$X^2 + 5$ の $\mathbb{Q}_p[X]$ での分解を調べれば足ります。

• $p = 3$：$-5 \equiv 1 \pmod 3$ は平方剰余なので $-5 \in (\mathbb{Q}_3^{\times})^2$（命題 6.6［付値と完備化］）。$L \otimes \mathbb{Q}_3 \cong \mathbb{Q}_3 \times \mathbb{Q}_3$。
• $p = 7$：$-5 \equiv 2 \equiv 3^2 \pmod 7$。$L \otimes \mathbb{Q}_7 \cong \mathbb{Q}_7 \times \mathbb{Q}_7$。
• $p = 11$：$-5 \equiv 6$ は平方非剰余。$L \otimes \mathbb{Q}_{11} = \mathbb{Q}_{11}(\sqrt{-5})$ は不分岐 2 次拡大。
• $p = 5$：$v_5(-5) = 1$ は奇数なので平方でなく、$L \otimes \mathbb{Q}_5 = \mathbb{Q}_5(\sqrt{-5})$ は完全分岐（$X^2 + 5$ は Eisenstein 多項式）。
• $p = 2$：$-5 \equiv 3 \pmod 8$ は平方でないので $L \otimes \mathbb{Q}_2 = \mathbb{Q}_2(\sqrt{-5})$ は 2 次拡大。$\mathbb{Q}_2$ の不分岐 2 次拡大は $\mathbb{Q}_2(\sqrt 5)$ だけで、$-5/5 = -1$ は平方でないので、これは分岐拡大です。
• $\mathbb{R}$：$X^2 + 5$ は既約で $L \otimes \mathbb{R} \cong \mathbb{C}$。

これは $d_L = -20$、すなわち $2$ と $5$ が分岐し、$3, 7$ が分解、$11$ が惰性であることと合っています。

演習 10.3標準

$p$ を奇素数、$L = \mathbb{Q}_p(\sqrt p)$ とする。$N_{L/\mathbb{Q}_p}(L^{\times}) = \langle -p\rangle \times (\mathbb{Z}_p^{\times})^2$ であり、$[\mathbb{Q}_p^{\times} : N(L^{\times})] = 2$ であることを示せ。

解答

$\pi_L = \sqrt p$ は素元で、$N(\sqrt p) = -p$ です（最小多項式 $X^2 - p$）。$L^{\times} = \pi_L^{\mathbb{Z}} \times \mathcal{O}_L^{\times}$、$\mathcal{O}_L = \mathbb{Z}_p[\sqrt p]$（定理 5.1）です。単数 $u = a + b\sqrt p$（$a, b \in \mathbb{Z}_p$）は $a \in \mathbb{Z}_p^{\times}$ を満たし（$v_L(a + b\sqrt p) = \min(2v_p(a), 2v_p(b) + 1) = 0$）、$N(u) = a^2 - pb^2 = a^2(1 - p(b/a)^2)$ です。$1 - p(b/a)^2 \equiv 1 \pmod p$ は平方なので（命題 6.6［付値と完備化］）$N(u) \in (\mathbb{Z}_p^{\times})^2$ です。逆に $c^2 = N(c)$ なので $(\mathbb{Z}_p^{\times})^2 \subseteq N(\mathcal{O}_L^{\times})$ です。よって $N(L^{\times}) = \langle -p\rangle \times (\mathbb{Z}_p^{\times})^2$ です。$\mathbb{Q}_p^{\times} = \langle -p\rangle \times \mathbb{Z}_p^{\times}$（$-p$ も素元）なので、指数は $[\mathbb{Z}_p^{\times} : (\mathbb{Z}_p^{\times})^2] = 2$ です。不分岐な場合（定理 4.4）と同じく、ノルム剰余群の位数が拡大次数に一致しています。

演習 10.4難

$p$ を奇素数とする。$\mathbb{Q}_p(\zeta_p) = \mathbb{Q}_p(\sqrt[p-1]{-p})$ であること、すなわち $\beta^{p-1} = -p$ を満たす $\beta \in \mathbb{Q}_p(\zeta_p)$ が存在して体を生成することを示せ。

解答

$L = \mathbb{Q}_p(\zeta)$、$\zeta = \zeta_p$、$\lambda = 1 - \zeta$ とします。例 9.2 から $L/\mathbb{Q}_p$ は $p - 1$ 次の完全分岐拡大で、$\lambda$ は素元、$\kappa_L = \mathbb{F}_p$ です。$\Phi_p(1) = p$ から

$$p = \prod_{a=1}^{p-1}(1 - \zeta^a) = \lambda^{p-1}\prod_{a=1}^{p-1}\frac{1 - \zeta^a}{1 - \zeta}, \qquad \frac{1 - \zeta^a}{1 - \zeta} = 1 + \zeta + \cdots + \zeta^{a-1} \equiv a \pmod\lambda$$

です。$w := \prod_a(1 - \zeta^a)/(1 - \zeta)$ は $w \equiv (p - 1)! \equiv -1 \pmod\lambda$ を満たします（Wilson の定理。$\mathbb{F}_p^{\times}$ の元の積は、$x \ne x^{-1}$ となる元が対になって消え、$\pm 1$ だけが残るので $-1$）。よって $\lambda^{p-1} = p/w = -p\cdot u_1$、$u_1 := -1/w \in 1 + \mathfrak{m}_L$ です。$p \nmid p - 1$ なので、定理 5.2 の証明と同じく Hensel の補題から $t^{p-1} = u_1$ となる $t \in \mathcal{O}_L^{\times}$ があり、$\beta := \lambda/t$ は $\beta^{p-1} = -p$ を満たします。$X^{p-1} + p$ は Eisenstein 多項式なので $[\mathbb{Q}_p(\beta) : \mathbb{Q}_p] = p - 1$ で、$L = \mathbb{Q}_p(\beta)$ です。

参考文献

• J.-P. Serre, Local Fields, Graduate Texts in Mathematics 67, Springer, 1979 — Chapter I §6（Eisenstein 多項式と完全分岐拡大）、Chapter II（完備化と延長）、Chapter III §5（不分岐拡大）、Chapter IV（分岐群）。
• J. Neukirch, Algebraic Number Theory, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 322, Springer, 1999 — Chapter II §4–§10（付値の延長、局所体、不分岐拡大と順分岐拡大、高次分岐群）。
• J. W. S. Cassels, Local Fields, London Mathematical Society Student Texts 3, Cambridge University Press, 1986 — Chapter 7–8（完備体の拡大、Krasner の補題）。
• J. W. S. Cassels, A. Fröhlich (eds.), Algebraic Number Theory, Academic Press, 1967 — Chapter I（A. Fröhlich, “Local fields”）、Chapter II（J. W. S. Cassels, “Global fields”）。
• S. Lang, Algebraic Number Theory, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics 110, Springer, 1994 — Chapter II（完備化）。