係数が近い多項式は同じ拡大を生む

系 6.2（「局所体」§6）・ ✓公理まで証明済み

$K$ を標数 $0$ の完備離散付値体、 $g \in K[X]$ を $n$ 次のモニック既約多項式とする。ある $\delta > 0$ があって、 $\|h - g\| < \delta$ を満たす任意の $n$ 次モニック多項式 $h \in K[X]$ は既約で、 $h$ の任意の根 $\beta$ （ $gh$ の最小分解体の中で考える）に対し $g$ の根 $\alpha$ で $K(\beta) = K(\alpha)$ となるものがある。特に $K[X]/(h) \cong K[X]/(g)$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 23 件、定義なども含めて 29 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Krasner の補題✓補題 6.1・局所体
- ガロア理論の基本定理✓定理 4.1・ガロア理論への招待
  - 同型の延長の個数✓補題 7.5・ガロア理論への招待
    分離性の判定✓命題 6.11・多項式環と体の拡大
    代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大この先をたどる →
    次数の連鎖律✓命題 2.3・ガロア理論への招待
  - アルティンの定理✓補題 7.7・ガロア理論への招待
    デデキントの補題（指標の一次独立性）✓補題 7.6・ガロア理論への招待
  - 次数の連鎖律✓命題 2.3・ガロア理論への招待
  - 自己同型は根を置換する✓補題 3.2・ガロア理論への招待
    ラグランジュの定理✓定理 6.1・部分群と剰余類この先をたどる →
  - 準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・群の準同型定理
    核と像の基本性質✓命題 4.2・群の準同型定理この先をたどる →
    ファイバーは核の左剰余類✓補題 4.3・群の準同型定理この先をたどる →
    群準同型写像定義 3.1・群の準同型定理
    単射性の判定✓命題 4.4・群の準同型定理この先をたどる →
    準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理この先をたどる →
    同型写像と同型定義 3.2・群の準同型定理

これを使っている定理証明で参照している 2 件

標数 0 の局所体の拡大の有限性✓定理 6.4・局所体
$ℚ_p$ の有限次拡大は代数体の完備化✓系 6.5・局所体

係数が近い多項式は同じ拡大を生む

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件