単数群のフィルターと p 進対数

$K$ を局所体、$U_K := \mathcal{O}_K^{\times}$、$U_K^{(n)} := 1 + \mathfrak{m}_K^n$（$n \ge 1$）とする。$U_K \supseteq U_K^{(1)} \supseteq U_K^{(2)} \supseteq \cdots$ を単数群のフィルターという。$K$ の標数が $0$ のとき $e_0 := v_K(p)$ を絶対分岐指数という。$n > e_0/(p - 1)$ と $x \in U_K^{(n)}$ に対し

を $p$ 進対数という（極限の存在は 定理 7.2 で示す）。$\log \colon U_K^{(n)} \to \mathfrak{m}_K^n$ の逆写像を $p$ 進指数といい $\exp$ と書く。