局所体の乗法群の構造

$K$ を局所体、$q = |\kappa_K|$、$p$ を剰余標数、$\pi$ を素元、$v = v_K$、$U = U_K$、$U^{(n)} = U_K^{(n)}$ とする。

1. $K^{\times} = \pi^{\mathbb{Z}} \times \mu_{q-1}(K) \times U^{(1)}$（内部直積）。$U/U^{(1)} \cong \kappa_K^{\times}$ で、$n \ge 1$ について $1 + \pi^na \mapsto \bar a$ は同型 $U^{(n)}/U^{(n+1)} \cong (\kappa_K, +)$ である。特に $[U : U^{(n)}] = (q - 1)q^{n-1}$。
2. $K$ の標数が $0$ で $n > e_0/(p - 1)$ とする。$x \in U^{(n)}$ について極限 $\log x$ が存在し、$v(\log x) = v(x - 1)$、$v(\log x - (x - 1)) > v(x - 1)$ である。$\log \colon U^{(n)} \to \mathfrak{m}_K^n$ は位相群の同型（乗法群から加法群へ）で、$v(\log x - \log y) = v(x - y)$ を満たす。
3. 2 の仮定のもとで、任意の整数 $m \ge 1$ について $(U^{(n)})^m = U^{(n + v(m))}$ で、$x \mapsto x^m$ は同型 $U^{(n)} \to U^{(n+v(m))}$ である。特に $U^{(n)}$ は単位元以外に位数有限の元をもたない。
4. $K$ の標数が $0$ のとき、任意の整数 $m \ge 1$ について

ここで $\mu_m(K)$ は $K$ に含まれる 1 の $m$ 乗根の群である。