I 進完備化・完備局所環

$M$ の $I$ 進完備化を $\widehat{M} = \varprojlim_n M/I^nM$（推移写像は自然な全射）と定め、第 $n$ 成分への射影を $p_n\colon \widehat{M} \to M/I^nM$、$x \mapsto (x + I^nM)_n$ で定まる準同型を $\iota_M\colon M \to \widehat{M}$ と書く。$\iota_M$ が全単射のとき、$M$ は $I$ 進完備であるという。

$\widehat{A} = \varprojlim A/I^n$ は成分ごとの積で環になり、$\iota_A$ は環準同型である。$\widehat{M}$ は成分ごとの作用で $\widehat{A}$ 加群になる。局所環 $(A, \mathfrak{m})$ が $\mathfrak{m}$ 進完備であるとき、$A$ を完備局所環という。