数学 › 代数的整数論・類体論 › 分解群・惰性群・Frobenius 元

局所化の補題

補題 2.3（「分解群・惰性群・Frobenius 元」§2） ・ ✓公理まで証明済み

2.1 節の設定（AA は商体 KK の標数が 00 で剰余体が有限な Dedekind 整域、BB は nn 次拡大 L/KL/K における AA の整閉包）で、p\mathfrak{p} を AA の 00 でない素イデアル、S=A∖pS = A \setminus \mathfrak{p}、Ap=S−1AA_{\mathfrak{p}} = S^{-1}A、Bp:=S−1BB_{\mathfrak{p}} := S^{-1}B とし、pB=∏i=1gPiei\mathfrak{p}B = \prod_{i=1}^g\mathfrak{P}_i^{e_i} とする。

  1. ApA_{\mathfrak{p}} は離散付値環で、BpB_{\mathfrak{p}} は LL における ApA_{\mathfrak{p}} の整閉包である。組 (Ap,K)(A_{\mathfrak{p}}, K) は 2.1 節の仮定を満たす。
  2. BpB_{\mathfrak{p}} の 00 でない素イデアルは PiBp\mathfrak{P}_iB_{\mathfrak{p}}（1≤i≤g1 \le i \le g）の gg 個で、pBp=∏i(PiBp)ei\mathfrak{p}B_{\mathfrak{p}} = \prod_i(\mathfrak{P}_iB_{\mathfrak{p}})^{e_i}、自然な写像 B/Pi→Bp/PiBpB/\mathfrak{P}_i \to B_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{P}_iB_{\mathfrak{p}} は同型である。したがって分岐指数と剰余次数は局所化で変わらない。
  3. BB の分数イデアル B=∏QQaQ\mathfrak{B} = \prod_{\mathfrak{Q}}\mathfrak{Q}^{a_{\mathfrak{Q}}} について BBp=∏i(PiBp)aPi\mathfrak{B}B_{\mathfrak{p}} = \prod_{i}(\mathfrak{P}_iB_{\mathfrak{p}})^{a_{\mathfrak{P}_i}}。特に x∈L×x \in L^{\times} の付値 vPi(x)v_{\mathfrak{P}_i}(x) は BB で測っても BpB_{\mathfrak{p}} で測っても同じである。
  4. BpB_{\mathfrak{p}} は単項イデアル整域であり、階数 nn の自由 ApA_{\mathfrak{p}} 加群である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 155 件、定義なども含めて 168 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 8 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 6 件