相対ノルムの性質

命題 7.3（「分解群・惰性群・Frobenius 元」§7）・ ✓公理まで証明済み

2.1 節の設定（ $A$ は商体 $K$ の標数が $0$ で剰余体が有限な Dedekind 整域、 $B$ は $n$ 次拡大 $L/K$ における $A$ の整閉包。 $L/K$ は Galois 拡大とは限らない）で、次が成り立つ。

$A$ の分数イデアル $\mathfrak{a}$ について $N_{L/K}(\mathfrak{a}B) = \mathfrak{a}^n$ 。
中間体 $M$ について $N_{L/K} = N_{M/K} \circ N_{L/M}$ 。
$x \in L^{\times}$ について $N_{L/K}(xB) = N_{L/K}(x)A$ 。
$L/K$ が Galois 拡大なら、 $B$ の分数イデアル $\mathfrak{B}$ について $N_{L/K}(\mathfrak{B})B = \prod_{\sigma \in G}\sigma(\mathfrak{B})$ 。
$A = \mathbb{Z}$ 、 $L$ が代数体のとき、 $\mathcal{O}_L$ の $0$ でないイデアル $\mathfrak{B}$ について $N_{L/\mathbb{Q}}(\mathfrak{B}) = (N\mathfrak{B})\mathbb{Z}$ （右辺の $N\mathfrak{B} = |\mathcal{O}_L/\mathfrak{B}|$ は絶対ノルム）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 190 件、定義なども含めて 209 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 8 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

設定から従う基本事実✓補題 2.1・分解群・惰性群・Frobenius 元
- Dedekind 環の整閉包は Dedekind✓系 7.3・離散付値環と Dedekind 環
  - Krull–秋月の定理✓定理 7.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - 分母を払うと整になる✓命題 2.7・整拡大（上で展開済み）
  - 整閉包は環・整性の推移性✓系 2.4・整拡大（上で展開済み）
  - 整拡大と体✓命題 4.1・整拡大
- 分離拡大での整閉包の有限性✓命題 6.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
- 整拡大と極大イデアル✓系 4.2・整拡大この先をたどる →
- 一般の Dedekind 環での基本等式✓定理 8.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- 整閉包は環・整性の推移性✓系 2.4・整拡大
  - 整性の判定✓定理 2.3・整拡大この先をたどる →
分岐指数と剰余次数は塔で乗法的✓補題 2.2・分解群・惰性群・Frobenius 元
- 次数の連鎖律✓命題 2.3・ガロア理論への招待
- 設定から従う基本事実✓補題 2.1・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）
- イデアルの素イデアル分解✓定理 4.5・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 素イデアルの逆✓補題 4.4・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
分母を払うと整になる✓命題 2.7・整拡大
- 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環準同型定義 7.1・環と体の基礎
局所化の補題✓補題 2.3・分解群・惰性群・Frobenius 元
- Dedekind 環の特徴づけ✓定理 5.1・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- 整閉包と局所化の可換性✓命題 2.6・整拡大
  - 整性は剰余と局所化で保たれる✓命題 2.5・整拡大この先をたどる →
- 局所化と剰余の可換性✓命題 3.7・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 設定から従う基本事実✓補題 2.1・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）
- 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
- PID 上の有限生成加群の構造定理（不変因子形）✓定理 5.1・加群と PID 上の構造定理この先をたどる →
- 分母を払うと整になる✓命題 2.7・整拡大（上で展開済み）
指数と行列式・イデアルの付値✓補題 7.2・分解群・惰性群・Frobenius 元
- スミス標準形✓定理 4.1・加群と PID 上の構造定理
- 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
- 局所化の補題✓補題 2.3・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）
Galois 群は上にある素イデアルに推移的に作用する✓補題 3.1・分解群・惰性群・Frobenius 元
- 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
- ガロア理論の基本定理✓定理 4.1・ガロア理論への招待この先をたどる →
- 設定から従う基本事実✓補題 2.1・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）
分解群の完全列✓定理 3.4・分解群・惰性群・Frobenius 元
- Galois 群は上にある素イデアルに推移的に作用する✓補題 3.1・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）
- 軌道・安定化群の公式✓定理 2.4・群の作用と Sylow の定理この先をたどる →
- 体の乗法群の有限部分群は巡回群✓定理 7.3・多項式環と体の拡大この先をたどる →
- 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
- 有限体の拡大の自己同型群✓補題 3.3・分解群・惰性群・Frobenius 元この先をたどる →
- 準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・群の準同型定理この先をたどる →
イデアルのノルムの性質✓命題 5.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
- 分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
- 位数の分解✓系 5.2・群の準同型定理この先をたどる →
- 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
- 整基底の存在と判別式✓定理 3.4・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
- 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 1 件

積公式✓定理 8.4・付値と完備化

相対ノルムの性質

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 8 件）

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 8 件）

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