積公式

定理 8.4（「付値と完備化」§8）・ ✓公理まで証明済み

$K$ を代数体、 $x \in K^{\times}$ とする。有限個を除くすべての素点 $v$ で $|x|_v = 1$ であり、

\prod_v|x|_v = 1

が成り立つ。積は $K$ のすべての素点にわたり、 $|\cdot|_v$ は正規化した絶対値である。より詳しく、素数 $p$ について $\prod_{v \mid p}|x|_v = |N_{K/\mathbb{Q}}(x)|_p$ 、 $\prod_{v \mid \infty}|x|_v = |N_{K/\mathbb{Q}}(x)|_\infty$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 191 件、定義なども含めて 211 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

相対ノルムの性質✓命題 7.3・分解群・惰性群・Frobenius 元
- 設定から従う基本事実✓補題 2.1・分解群・惰性群・Frobenius 元
  - Dedekind 環の整閉包は Dedekind✓系 7.3・離散付値環と Dedekind 環
    Krull–秋月の定理✓定理 7.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
    分母を払うと整になる✓命題 2.7・整拡大（上で展開済み）
    整閉包は環・整性の推移性✓系 2.4・整拡大（上で展開済み）
    整拡大と体✓命題 4.1・整拡大
  - 分離拡大での整閉包の有限性✓命題 6.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
  - 整拡大と極大イデアル✓系 4.2・整拡大この先をたどる →
  - 一般の Dedekind 環での基本等式✓定理 8.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - 整閉包は環・整性の推移性✓系 2.4・整拡大
    整性の判定✓定理 2.3・整拡大この先をたどる →
- 分岐指数と剰余次数は塔で乗法的✓補題 2.2・分解群・惰性群・Frobenius 元
  - 次数の連鎖律✓命題 2.3・ガロア理論への招待
  - 設定から従う基本事実✓補題 2.1・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）
  - イデアルの素イデアル分解✓定理 4.5・代数体の整数環と Dedekind 整域
    素イデアルの逆✓補題 4.4・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
- 分母を払うと整になる✓命題 2.7・整拡大
  - 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 局所化の補題✓補題 2.3・分解群・惰性群・Frobenius 元
  - Dedekind 環の特徴づけ✓定理 5.1・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - 整閉包と局所化の可換性✓命題 2.6・整拡大この先をたどる →
  - 局所化と剰余の可換性✓命題 3.7・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 設定から従う基本事実✓補題 2.1・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）
  - 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - PID 上の有限生成加群の構造定理（不変因子形）✓定理 5.1・加群と PID 上の構造定理この先をたどる →
  - 分母を払うと整になる✓命題 2.7・整拡大（上で展開済み）
- 指数と行列式・イデアルの付値✓補題 7.2・分解群・惰性群・Frobenius 元
  - スミス標準形✓定理 4.1・加群と PID 上の構造定理
  - 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 局所化の補題✓補題 2.3・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）
- Galois 群は上にある素イデアルに推移的に作用する✓補題 3.1・分解群・惰性群・Frobenius 元
  - 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - ガロア理論の基本定理✓定理 4.1・ガロア理論への招待この先をたどる →
  - 設定から従う基本事実✓補題 2.1・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）
- 分解群の完全列✓定理 3.4・分解群・惰性群・Frobenius 元
  - Galois 群は上にある素イデアルに推移的に作用する✓補題 3.1・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）
  - 軌道・安定化群の公式✓定理 2.4・群の作用と Sylow の定理この先をたどる →
  - 体の乗法群の有限部分群は巡回群✓定理 7.3・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 有限体の拡大の自己同型群✓補題 3.3・分解群・惰性群・Frobenius 元この先をたどる →
  - 準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・群の準同型定理この先をたどる →
- イデアルのノルムの性質✓命題 5.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 位数の分解✓系 5.2・群の準同型定理この先をたどる →
  - 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 整基底の存在と判別式✓定理 3.4・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類この先をたどる →
トレースとノルム定義 3.2・代数体の整数環と Dedekind 整域

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

積公式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）