指数と行列式・イデアルの付値

補題 7.2（「分解群・惰性群・Frobenius 元」§7）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を離散付値環（2.1 節の仮定を満たすもの）、 $v$ をその付値、 $q$ を剰余体の元の個数とする。

$T \in M_n(A)$ 、 $\det T \ne 0$ ならば $|A^n/TA^n| = q^{v(\det T)}$ 。
$B$ の $0$ でないイデアル $\mathfrak{B}$ について $|B/\mathfrak{B}| = q^{\sum_i f_iv_{\mathfrak{P}_i}(\mathfrak{B})} = q^{v(N_{L/K}(\mathfrak{B}))}$ 。ここで $v(\mathfrak{p}^m) := m$ とする。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 156 件、定義なども含めて 169 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

スミス標準形✓定理 4.1・加群と PID 上の構造定理
中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  - 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環
    法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  - 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
局所化の補題✓補題 2.3・分解群・惰性群・Frobenius 元
- Dedekind 環の特徴づけ✓定理 5.1・離散付値環と Dedekind 環
  - 分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域
    イデアルの素イデアル分解✓定理 4.5・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
    素イデアルの逆✓補題 4.4・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環
    鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
    局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
    ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
    ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大この先をたどる →
    環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 素イデアルでの局所化は局所環✓命題 3.10・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
  - 可逆イデアルの特徴づけ✓定理 4.3・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - 極大イデアルが単項な Noether 局所整域✓系 3.5・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - 付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - 正規性は局所的✓命題 3.2・整拡大この先をたどる →
  - DVR の基本性質✓命題 3.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - Pic = Cl✓系 4.4・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- 整閉包と局所化の可換性✓命題 2.6・整拡大
  - 整性は剰余と局所化で保たれる✓命題 2.5・整拡大この先をたどる →
- 局所化と剰余の可換性✓命題 3.7・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 局所化は環になる✓補題 3.3・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環（上で展開済み）
- 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 設定から従う基本事実✓補題 2.1・分解群・惰性群・Frobenius 元
  - Dedekind 環の整閉包は Dedekind✓系 7.3・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - 分離拡大での整閉包の有限性✓命題 6.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
  - 整拡大と極大イデアル✓系 4.2・整拡大この先をたどる →
  - 一般の Dedekind 環での基本等式✓定理 8.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - 整閉包は環・整性の推移性✓系 2.4・整拡大この先をたどる →
- 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
- PID 上の有限生成加群の構造定理（不変因子形）✓定理 5.1・加群と PID 上の構造定理
  - 自由加群の部分加群は自由✓定理 3.1・加群と PID 上の構造定理
  - スミス標準形✓定理 4.1・加群と PID 上の構造定理
  - 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
- 分母を払うと整になる✓命題 2.7・整拡大
  - 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 2 件

相対ノルムの性質✓命題 7.3・分解群・惰性群・Frobenius 元
判別式は共役差積のノルム✓命題 8.5・分解群・惰性群・Frobenius 元

指数と行列式・イデアルの付値

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件