分岐指数と剰余次数は塔で乗法的

補題 2.2（「分解群・惰性群・Frobenius 元」§2）・ ✓公理まで証明済み

2.1 節の設定（ $A$ は商体 $K$ の標数が $0$ で剰余体が有限な Dedekind 整域、 $B$ は有限次拡大 $L/K$ における $A$ の整閉包）で、 $M$ を中間体、 $B_M = B \cap M$ 、 $\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}$ 、 $\mathfrak{P}_M := \mathfrak{P} \cap B_M$ とする。このとき

e(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}) = e(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{P}_M)\, e(\mathfrak{P}_M \mid \mathfrak{p}), \qquad f(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}) = f(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{P}_M)\, f(\mathfrak{P}_M \mid \mathfrak{p}).

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 156 件、定義なども含めて 169 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

次数の連鎖律✓命題 2.3・ガロア理論への招待
設定から従う基本事実✓補題 2.1・分解群・惰性群・Frobenius 元
- Dedekind 環の整閉包は Dedekind✓系 7.3・離散付値環と Dedekind 環
  - Krull–秋月の定理✓定理 7.2・離散付値環と Dedekind 環
    捩れのない加群の剰余の長さ✓補題 7.1・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
    長さの加法性✓命題 5.5・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
    鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
    Artin 環の基本性質✓命題 6.1・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
  - 分母を払うと整になる✓命題 2.7・整拡大
    局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 整閉包は環・整性の推移性✓系 2.4・整拡大（上で展開済み）
  - 整拡大と体✓命題 4.1・整拡大
- 分離拡大での整閉包の有限性✓命題 6.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
  - 分母を払うと整になる✓命題 2.7・整拡大（上で展開済み）
  - 分離拡大のトレース形式は非退化✓補題 6.3・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
  - トレースと最小多項式✓補題 6.2・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
    代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大この先をたどる →
    整閉整域上の最小多項式✓命題 5.3・整拡大この先をたどる →
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  - Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環
    鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
    局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
    ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
    ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大この先をたどる →
    環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 整拡大と極大イデアル✓系 4.2・整拡大
  - 整性は剰余と局所化で保たれる✓命題 2.5・整拡大この先をたどる →
  - 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 整拡大と体✓命題 4.1・整拡大
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 一般の Dedekind 環での基本等式✓定理 8.2・離散付値環と Dedekind 環
  - 横たわり定理✓定理 4.4・整拡大この先をたどる →
  - 分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 体上の長さは次元✓命題 5.6・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
  - 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 加群の同型定理と対応定理✓補題 2.1・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
  - 長さの加法性✓命題 5.5・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
  - 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
  - 素イデアルでの局所化は局所環✓命題 3.10・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - Dedekind 環の特徴づけ✓定理 5.1・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - 分母を払うと整になる✓命題 2.7・整拡大（上で展開済み）
  - 捩れのない加群の剰余の長さ✓補題 7.1・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - 分離拡大での整閉包の有限性✓命題 6.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理（上で展開済み）
- 整閉包は環・整性の推移性✓系 2.4・整拡大
  - 整性の判定✓定理 2.3・整拡大この先をたどる →
イデアルの素イデアル分解✓定理 4.5・代数体の整数環と Dedekind 整域
- 素イデアルの逆✓補題 4.4・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 素イデアルの積を含む✓補題 4.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 加群による整性の判定✓補題 2.2・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 8 件

円分体での素数の分解✓定理 4.3・円分体と Kronecker–Weber の定理
順分岐の除去✓補題 7.4・円分体と Kronecker–Weber の定理
分解体・惰性体での分解✓定理 4.1・分解群・惰性群・Frobenius 元
中間体での完全分解・不分岐の判定✓系 4.2・分解群・惰性群・Frobenius 元
Frobenius 元の性質✓命題 5.2・分解群・惰性群・Frobenius 元
相対ノルムの性質✓命題 7.3・分解群・惰性群・Frobenius 元
Hilbert の公式✓定理 9.4・分解群・惰性群・Frobenius 元
完全分解する素イデアルが Galois 拡大を決める（Bauer）✓系 9.2・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数

分岐指数と剰余次数は塔で乗法的

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 8 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 8 件