数学 › 代数的整数論・類体論 › 分解群・惰性群・Frobenius 元

Frobenius 元の性質

命題 5.2（「分解群・惰性群・Frobenius 元」§5） ・ ✓公理まで証明済み

2.1 節の設定（AA は商体 KK の標数が 00 で剰余体が有限な Dedekind 整域、BB は有限次拡大 L/KL/K における AA の整閉包）で、L/KL/K を Galois 拡大、G=Gal(L/K)G = \mathrm{Gal}(L/K)、P∣p\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p} を不分岐な素イデアル、q=∣κ(p)∣q = |\kappa(\mathfrak{p})|、σ=Frob(P,L/K)\sigma = \mathrm{Frob}(\mathfrak{P}, L/K) とする。

  1. σ\sigma は、すべての x∈Bx \in B で σx≡xq(modP)\sigma x \equiv x^q \pmod{\mathfrak{P}} を満たす GG のただ 1 つの元である。σ\sigma の位数は f=f(P∣p)f = f(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}) で、D(P∣p)D(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}) は σ\sigma が生成する巡回群である。
  2. τ∈G\tau \in G について Frob(τP,L/K)=τστ−1\mathrm{Frob}(\tau\mathfrak{P}, L/K) = \tau\sigma\tau^{-1}。
  3. MM を中間体、PM=P∩M\mathfrak{P}_M = \mathfrak{P} \cap M とすると、P\mathfrak{P} は PM\mathfrak{P}_M 上不分岐で Frob(P,L/M)=σf(PM∣p)\mathrm{Frob}(\mathfrak{P}, L/M) = \sigma^{f(\mathfrak{P}_M \mid \mathfrak{p})}。
  4. 3 でさらに M/KM/K が Galois 拡大なら、PM\mathfrak{P}_M は p\mathfrak{p} 上不分岐で Frob(PM,M/K)=σ∣M\mathrm{Frob}(\mathfrak{P}_M, M/K) = \sigma|_M。
  5. p\mathfrak{p} が LL で完全分解することと σ=1\sigma = 1 は同値である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 178 件、定義なども含めて 195 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 9 件

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