Abel 拡大での分解法則は合同条件で決まる

系 8.2（「類体論」§8）・ △証明あり（閉包未完）

$L/K$ を代数体の有限次 Abel 拡大、 $\mathfrak{m}$ を $\overline{U}_{\mathfrak{m}} \subseteq N_{L/K}C_L$ を満たすモジュラス、 $H_L := P_{\mathfrak{m}}N_{L/K}(I_L^{\mathfrak{m}})$ とする。 $\mathfrak{m}_0$ を割らない素イデアル $\mathfrak{p}$ は $L$ で不分岐で、その剰余次数は $\mathfrak{p}$ の類の $I^{\mathfrak{m}}/H_L$ での位数 $f$ に等しく、 $\mathfrak{p}$ は $[L:K]/f$ 個の素イデアルに分解する。特に、 $\mathfrak{p}$ の分解の仕方は $\mathfrak{p}$ の $\mathfrak{m}$ を法とする射線類だけで決まり、 $\mathfrak{p}$ が完全分解することと $\mathfrak{p} \in H_L$ は同値である。逆に $L$ は $H_L$ によって決まる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

△ 証明あり（閉包未完）

証明は Rikai にありますが、たどった先に主張のみの定理（または循環）があり、公理まではつながっていません。止めている前提:

Artin の相互法則※定理 7.1・類体論

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Artin の相互法則※定理 7.1・類体論
Frobenius 元の性質✓命題 5.2・分解群・惰性群・Frobenius 元
- 有限体の拡大の自己同型群✓補題 3.3・分解群・惰性群・Frobenius 元
  - フロベニウス写像✓補題 7.1・多項式環と体の拡大
  - 体の乗法群の有限部分群は巡回群✓定理 7.3・多項式環と体の拡大
    元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類この先をたどる →
  - 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大
    環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
    PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大この先をたどる →
    極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
- Galois 群は上にある素イデアルに推移的に作用する✓補題 3.1・分解群・惰性群・Frobenius 元
  - 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域
    環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - ガロア理論の基本定理✓定理 4.1・ガロア理論への招待
    同型の延長の個数✓補題 7.5・ガロア理論への招待この先をたどる →
    アルティンの定理✓補題 7.7・ガロア理論への招待この先をたどる →
    次数の連鎖律✓命題 2.3・ガロア理論への招待
    自己同型は根を置換する✓補題 3.2・ガロア理論への招待この先をたどる →
    準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・群の準同型定理この先をたどる →
  - 設定から従う基本事実✓補題 2.1・分解群・惰性群・Frobenius 元
    Dedekind 環の整閉包は Dedekind✓系 7.3・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
    分離拡大での整閉包の有限性✓命題 6.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
    整拡大と極大イデアル✓系 4.2・整拡大この先をたどる →
    一般の Dedekind 環での基本等式✓定理 8.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
    整閉包は環・整性の推移性✓系 2.4・整拡大この先をたどる →
- 分岐指数と剰余次数は塔で乗法的✓補題 2.2・分解群・惰性群・Frobenius 元
  - 次数の連鎖律✓命題 2.3・ガロア理論への招待
  - 設定から従う基本事実✓補題 2.1・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）
  - イデアルの素イデアル分解✓定理 4.5・代数体の整数環と Dedekind 整域
    素イデアルの逆✓補題 4.4・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
- 中間体での完全分解・不分岐の判定✓系 4.2・分解群・惰性群・Frobenius 元
  - 分解群の完全列✓定理 3.4・分解群・惰性群・Frobenius 元
    Galois 群は上にある素イデアルに推移的に作用する✓補題 3.1・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）
    軌道・安定化群の公式✓定理 2.4・群の作用と Sylow の定理この先をたどる →
    体の乗法群の有限部分群は巡回群✓定理 7.3・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
    中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
    有限体の拡大の自己同型群✓補題 3.3・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）
    準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・群の準同型定理この先をたどる →
  - 分岐指数と剰余次数は塔で乗法的✓補題 2.2・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）
  - ガロア理論の基本定理✓定理 4.1・ガロア理論への招待（上で展開済み）
  - 横たわり定理✓定理 4.4・整拡大この先をたどる →
  - Galois 群は上にある素イデアルに推移的に作用する✓補題 3.1・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）
完全分解する素イデアルが Galois 拡大を決める（Bauer）✓系 9.2・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
- 合成体での不分岐・完全分解の遺伝✓系 4.3・分解群・惰性群・Frobenius 元
  - 中間体での完全分解・不分岐の判定✓系 4.2・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）
- 分岐指数と剰余次数は塔で乗法的✓補題 2.2・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）
- 完全分解する素イデアルの密度✓定理 9.1・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
  - Galois 群は上にある素イデアルに推移的に作用する✓補題 3.1・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）
  - 分岐する素数は判別式を割る✓定理 6.1・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 素イデアルのノルムの逆数和✓補題 6.2・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数この先をたどる →

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

Abel 拡大での分解法則は合同条件で決まる

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）