Artin の相互法則

$L/K$ を代数体の有限次 Abel 拡大とする。

1. 連続な全射準同型 $\psi_{L/K} : C_K \to \mathrm{Gal}(L/K)$（大域ノルム剰余記号）で、核が $N_{L/K}C_L$ のものがある。したがって $C_K/N_{L/K}C_L \cong \mathrm{Gal}(L/K)$ である。
2. $K$ の素点 $v$ と $w \mid v$ について、合成 $K_v^{\times} \to C_K \xrightarrow{\psi_{L/K}} \mathrm{Gal}(L/K)$ は局所ノルム剰余記号 $\theta_{L_w/K_v}$（定理 3.3）に一致する（像は分解群 $G_w \cong \mathrm{Gal}(L_w/K_v)$ に入る。無限素点では、$L_w = \mathbb{C}$、$K_v = \mathbb{R}$ のとき $\theta_{L_w/K_v}$ は同型 $\mathbb{R}^{\times}/\mathbb{R}_{\gt 0} \cong \mathrm{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})$、$L_w = K_v$ のとき自明な写像とする）。特に、$L$ で不分岐な有限素点 $v$ では、$v$ 成分が $\pi_v$ でほかの成分が $1$ のイデールの類は $\mathrm{Frob}_v$ に写り、$\mathcal{O}_v^{\times}$ の像は自明である。
3. 有限素点 $v$ が $L$ で不分岐であることと、$\mathcal{O}_v^{\times}$ の $C_K$ での像が $N_{L/K}C_L$ に含まれることは同値である。実素点 $v$ の上の素点がすべて実であることと、$K_v^{\times}$ の像が $N_{L/K}C_L$ に含まれることは同値である。
4. $\mathfrak{m}$ を $\overline{U}_{\mathfrak{m}} \subseteq N_{L/K}C_L$ を満たすモジュラスとする（3 により、$\mathfrak{m}_0$ は分岐する素イデアルをすべて割る）。このとき Artin 写像 $\mathrm{Art}_{L/K} : I^{\mathfrak{m}} \to \mathrm{Gal}(L/K)$ の核は $P_{\mathfrak{m}}N_{L/K}(I_L^{\mathfrak{m}})$ であり、同型 $C_K/\overline{U}_{\mathfrak{m}} \cong I^{\mathfrak{m}}/P_{\mathfrak{m}}$ のもとで $\psi_{L/K}$ は $\mathrm{Art}_{L/K}$ に対応する。特に $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ は $\mathfrak{p}$ の $\mathfrak{m}$ を法とする射線類だけで決まる。