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立方剰余記号と相互法則

命題 8.7（「類体論」§8） ・ △証明あり（閉包未完）

ω=ζ3\omega = \zeta_3、K=Q(ω)K = \mathbb{Q}(\omega)、OK=Z[ω]\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\omega] とする。a∈OKa \in \mathcal{O}_K、a≠0a \ne 0 とし、p\mathfrak{p} を 3a3a を割らない KK の素イデアル、q:=Npq := N\mathfrak{p} とする。

  1. q≡1 mod 3q \equiv 1 \bmod 3 であり、a(q−1)/3≡(ap)3 mod pa^{(q - 1)/3} \equiv \left(\dfrac{a}{\mathfrak{p}}\right)_3 \bmod \mathfrak{p} を満たす 1 の 3 乗根 (ap)3∈{1,ω,ω2}\left(\dfrac{a}{\mathfrak{p}}\right)_3 \in \{1, \omega, \omega^2\} がただ 1 つある（立方剰余記号）。(ap)3=1\left(\dfrac{a}{\mathfrak{p}}\right)_3 = 1 は、x3≡a mod px^3 \equiv a \bmod \mathfrak{p} が OK\mathcal{O}_K で解けることと同値である。
  2. aa が KK で立方数でないとき、L:=K(a3)L := K(\sqrt[3]{a}) は KK の 3 次巡回拡大で、p\mathfrak{p} は LL で不分岐であり、
Frobp(a3)=(ap)3a3\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}\bigl(\sqrt[3]{a}\bigr) = \left(\frac{a}{\mathfrak{p}}\right)_3\sqrt[3]{a}

である。 3. 3a3a の素因子だけで割れる整イデアル m0\mathfrak{m}_0 があって、3a3a を割らない素イデアル p=(π)\mathfrak{p} = (\pi)、p′=(π′)\mathfrak{p}' = (\pi') が π≡π′ mod m0\pi \equiv \pi' \bmod \mathfrak{m}_0 を満たせば (ap)3=(ap′)3\left(\dfrac{a}{\mathfrak{p}}\right)_3 = \left(\dfrac{a}{\mathfrak{p}'}\right)_3 である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

△ 証明あり（閉包未完）

証明は Rikai にありますが、たどった先に主張のみの定理（または循環）があり、公理まではつながっていません。止めている前提:

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。