数学 › 数論 › S 単数と Kummer 理論
Kummer 拡大と巡回拡大
を標数 で を満たす体とする。
- 、、 とする。 は巡回拡大で、その次数は の での位数 に等しい。特に 。
- 逆に が次数 （）の巡回拡大ならば、 かつ となる が存在する。特に について である。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 27 件、定義なども含めて 35 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
- 自己同型群・ガロア拡大・ガロア群定義 3.1・ガロア理論への招待
Kummer 対✓補題 5.1・S 単数と Kummer 理論
- ガロア理論の基本定理✓定理 4.1・ガロア理論への招待（上で展開済み）
体の乗法群の有限部分群は巡回群✓定理 7.3・多項式環と体の拡大
元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類
- 元の位数と巡回部分群の大きさ✓命題 4.2・部分群と剰余類
- 生成される巡回部分群と元の位数定義 4.1・部分群と剰余類
ガロア理論の基本定理✓定理 4.1・ガロア理論への招待
同型の延長の個数✓補題 7.5・ガロア理論への招待
- 分離性の判定✓命題 6.11・多項式環と体の拡大
代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環 この先をたどる →
- PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環 この先をたどる →
- 次数の連鎖律✓命題 2.3・ガロア理論への招待
アルティンの定理✓補題 7.7・ガロア理論への招待
- デデキントの補題（指標の一次独立性）✓補題 7.6・ガロア理論への招待
- 次数の連鎖律✓命題 2.3・ガロア理論への招待
自己同型は根を置換する✓補題 3.2・ガロア理論への招待
- ラグランジュの定理✓定理 6.1・部分群と剰余類（上で展開済み）
準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・群の準同型定理
ファイバーは核の左剰余類✓補題 4.3・群の準同型定理
- 準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理（上で展開済み）
- 群準同型写像定義 3.1・群の準同型定理
単射性の判定✓命題 4.4・群の準同型定理
- 準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理（上で展開済み）
- ファイバーは核の左剰余類✓補題 4.3・群の準同型定理（上で展開済み）
- 同型写像と同型定義 3.2・群の準同型定理
Hilbert の定理 90✓定理 4.1・S 単数と Kummer 理論
- デデキントの補題（指標の一次独立性）✓補題 7.6・ガロア理論への招待
これを使っている定理 証明で参照している 2 件
- 立方剰余記号と相互法則△命題 8.7・類体論
- Kummer 理論の基本定理✓定理 5.4・S 単数と Kummer 理論