Kummer 理論の基本定理

定理 5.4（「S 単数と Kummer 理論」§5）・ ✓公理まで証明済み

$K$ を標数 $0$ で $|\mu_n| = n$ を満たす体とする。

$K^{\times n} \subseteq \Delta \subseteq K^{\times}$ で $\Delta/K^{\times n}$ が有限ならば、 $L = K(\sqrt[n]{\Delta})$ は指数 $n$ の有限次アーベル拡大で、Kummer 対は同型

\mathrm{Gal}(L/K) \cong \mathrm{Hom}(\Delta/K^{\times n}, \mu_n), \qquad \Delta/K^{\times n} \cong \mathrm{Hom}(\mathrm{Gal}(L/K), \mu_n)

を与える。特に $[L:K] = [\Delta : K^{\times n}]$ 。 2. 対応 $\Delta \mapsto K(\sqrt[n]{\Delta})$ は、1 の形の部分群 $\Delta$ の全体から、 $\bar K$ に含まれる指数 $n$ の有限次アーベル拡大 $L/K$ の全体への、包含関係を保つ全単射であり、逆写像は $L \mapsto \Delta_L = K^{\times} \cap L^{\times n}$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 37 件、定義なども含めて 45 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Kummer 対✓補題 5.1・S 単数と Kummer 理論
- ガロア理論の基本定理✓定理 4.1・ガロア理論への招待（上で展開済み）
有限アーベル群の双対✓補題 5.3・S 単数と Kummer 理論
- 有限生成アーベル群の基本定理✓系 6.1・加群と PID 上の構造定理
  - PID 上の有限生成加群の構造定理（不変因子形）✓定理 5.1・加群と PID 上の構造定理
    自由加群の部分加群は自由✓定理 3.1・加群と PID 上の構造定理
    スミス標準形✓定理 4.1・加群と PID 上の構造定理
    加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
  - 整数環と多項式環は単項イデアル整域✓命題 7.2・イデアルと剰余環
  - 素冪因子形✓命題 5.2・加群と PID 上の構造定理
    PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大この先をたどる →
    中国剰余定理✓命題 2.4・加群と PID 上の構造定理この先をたどる →
ガロア理論の基本定理✓定理 4.1・ガロア理論への招待
- 同型の延長の個数✓補題 7.5・ガロア理論への招待
  - 分離性の判定✓命題 6.11・多項式環と体の拡大
  - 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大
    環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
    PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大この先をたどる →
    極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 次数の連鎖律✓命題 2.3・ガロア理論への招待
- アルティンの定理✓補題 7.7・ガロア理論への招待
  - デデキントの補題（指標の一次独立性）✓補題 7.6・ガロア理論への招待
- 次数の連鎖律✓命題 2.3・ガロア理論への招待
- 自己同型は根を置換する✓補題 3.2・ガロア理論への招待
  - ラグランジュの定理✓定理 6.1・部分群と剰余類
    左剰余類の基本性質✓補題 5.2・部分群と剰余類この先をたどる →
- 準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・群の準同型定理
  - 核と像の基本性質✓命題 4.2・群の準同型定理
    準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理（上で展開済み）
  - ファイバーは核の左剰余類✓補題 4.3・群の準同型定理
    準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理（上で展開済み）
  - 群準同型写像定義 3.1・群の準同型定理
  - 単射性の判定✓命題 4.4・群の準同型定理
    準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理（上で展開済み）
    ファイバーは核の左剰余類✓補題 4.3・群の準同型定理（上で展開済み）
  - 準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理
    群準同型写像定義 3.1・群の準同型定理
  - 同型写像と同型定義 3.2・群の準同型定理
体の乗法群の有限部分群は巡回群✓定理 7.3・多項式環と体の拡大
- 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類
  - 元の位数と巡回部分群の大きさ✓命題 4.2・部分群と剰余類
  - 生成される巡回部分群と元の位数定義 4.1・部分群と剰余類
  - ラグランジュの定理✓定理 6.1・部分群と剰余類（上で展開済み）
Kummer 拡大と巡回拡大✓定理 5.2・S 単数と Kummer 理論
- 自己同型群・ガロア拡大・ガロア群定義 3.1・ガロア理論への招待
- Kummer 対✓補題 5.1・S 単数と Kummer 理論（上で展開済み）
- 体の乗法群の有限部分群は巡回群✓定理 7.3・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- ガロア理論の基本定理✓定理 4.1・ガロア理論への招待（上で展開済み）
- Hilbert の定理 90✓定理 4.1・S 単数と Kummer 理論
  - デデキントの補題（指標の一次独立性）✓補題 7.6・ガロア理論への招待

これを使っている定理証明で参照している 3 件

$Q_p$ の p 次巡回拡大の個数✓補題 4.4・類体論
$Q_p$ の Abel 拡大と円分拡大の相互写像✓定理 4.6・類体論
S の外で不分岐な指数 n の拡大の有限性✓定理 6.4・S 単数と Kummer 理論

Kummer 理論の基本定理

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理証明で参照している 3 件