S 単数と Kummer 理論：有限個の素点の外で不分岐な拡大は有限個しかない

0. この記事の要点

この記事は、「割り算を許す素数をあらかじめ決めておくと、整数のような数の世界がどれだけ広がるか」と、「$\sqrt[n]{a}$ を付け加えて作る拡大体は、どこまで調べ尽くせるか」という二つの素朴な疑問を扱います。前者は可逆な元の群の大きさ（階数）として、後者は $a$ の選び方の分類として、きれいな形で答えが出ます。読み終えると、「決めた素数の外で分岐しない、指数 $n$ のアーベル拡大は有限個しかない」という結論を、自分の手で証明できるようになります。

• 代数体 $K$ と、すべての無限素点（実の埋め込み、または複素共役で対になる虚の埋め込みのこと）を含む素点の有限集合 $S$ に対し、S 単数群 $\mathcal{O}_S^{\times}$（$S$ の外の素イデアルで付値が $0$ の元の群）は有限生成で、$\mathcal{O}_S^{\times} \cong \mu_K \times \mathbb{Z}^{|S|-1}$、すなわち階数は $r_1 + r_2 + |S_f| - 1$ です（定理 3.2）。証明は Dirichlet の単数定理（定理 6.1［イデアル類群の有限性と Minkowski 限界］）と類数の有限性（定理 4.3［イデアル類群の有限性と Minkowski 限界］）に帰着します。
• Hilbert の定理 90（定理 4.1）：巡回拡大 $L/K$ でノルムが $1$ の元は $c/\sigma(c)$ の形に書けます。証明は Dedekind の補題（指標の一次独立性）だけで済みます。
• Kummer 理論（定理 5.4）：$K$ が 1 の原始 $n$ 乗根を含むとき、指数が $n$ を割る有限次アーベル拡大 $L/K$ と、有限指数の部分群 $K^{\times n} \subseteq \Delta \subseteq K^{\times}$ が $L = K(\sqrt[n]{\Delta})$ で一対一に対応し、$\mathrm{Gal}(L/K) \cong \mathrm{Hom}(\Delta/K^{\times n}, \mu_n)$ です。
• 二つを合わせると、$S$ の外で不分岐な指数 $n$ のアーベル拡大は、有限群 $K(S,n)$ の部分群に対応するので有限個しかありません（定理 6.4）。$|K(S,n)| \le h_K \, n^{|S|}$ という具体的な上界も出ます。
• Chebotarev の密度定理（定理 7.1）は主張のみ述べます。円分体に適用すると Dirichlet の算術級数定理になります。

この記事で使う事前知識

• 整数環・分数イデアル: 代数体の整数全体がなす環と、その素イデアルへの一意分解。→ Dedekind 整域、分数イデアル
• イデアル類群・類数: 分数イデアルを単項なものの違いを無視して数えた有限群と、その位数。→ イデアル類群の有限性と Minkowski 限界
• ガロア拡大とガロア群: 方程式の根をすべて含む拡大と、その対称性の群。→ ガロア拡大
• 分岐指数: 素イデアルを拡大で分解したときの各因子の指数。これがすべて $1$ のとき不分岐。→ 分岐指数
• 有限生成アーベル群の構造: 有限生成アーベル群は巡回群の直和になるという事実。→ 加群と PID 上の構造定理
• 1 のべき根 $\mu_K$, $\mu_n$: $K$ に含まれる 1 のべき根全体、および $n$ 乗して $1$ になる元全体。

1. 動機

有理数体 $\mathbb{Q}$ で「素数 $2, 3$ でだけ割り算を許す」と、可逆元は $\pm 2^a 3^b$（$a, b \in \mathbb{Z}$）になります。これは階数 $2$ の自由アーベル群と $\{\pm1\}$ の積です。一般の代数体では、割り算を許さなくても可逆元（単数）が無限個ありえます。たとえば $\mathbb{Q}(\sqrt2)$ では $1+\sqrt2$ の逆元 $\sqrt2-1$ も整数なので、$(1+\sqrt2)^k$ がすべて単数です。S 単数定理は、この二つの現象（無限素点から来る単数と、許した素イデアルから来る元）を一つの階数の公式にまとめます。

一方、体 $K$ に 1 の $n$ 乗根がそろっていれば、$x^n - a$ の根を一つ添加するだけで巡回拡大が得られます。Kummer 理論はその逆、つまり「指数 $n$ のアーベル拡大はすべて $n$ 乗根の添加で得られ、どの $a$ を添加したかは $K^{\times}/K^{\times n}$ で正確に記録される」を主張します。

拡大 $K(\sqrt[n]{a})/K$ が素イデアル $\mathfrak{p}$ で分岐しないためには、$a$ の $\mathfrak{p}$ 進付値が $n$ の倍数であることが必要です（補題 6.3）。すると「$S$ の外で不分岐」という条件は、$a$ を「$S$ の外で付値が $n$ の倍数」の元に制限し、その全体は S 単数と類群で押さえられる有限群になります。これが本記事の主結果 定理 6.4 で、楕円曲線の弱 Mordell–Weil 定理（楕円曲線・モジュラー形式と現代数論 で扱う有理点の群が有限生成であることの第一歩）や、類体論の存在定理の証明で中心的に使われます。

既出の章から使うもの。 整数環とイデアルの素因数分解は 代数体の整数環と Dedekind 整域、類数の有限性と Dirichlet の単数定理は イデアル類群の有限性と Minkowski 限界 で証明したものを使います。ガロア理論は ガロア理論への招待 の基本定理 定理 4.1［ガロア理論への招待］ と Dedekind の補題 補題 7.6［ガロア理論への招待］、体の乗法群の有限部分群が巡回群であること 定理 7.3［多項式環と体の拡大］、有限生成アーベル群の構造 系 6.1［加群と PID 上の構造定理］ と、自由加群の部分加群が自由であること 定理 3.1［加群と PID 上の構造定理］ を使います。

2. 準備：代数体の基本事実

代数体とは $\mathbb{Q}$ の有限次拡大体 $K$ のことで、$n = [K:\mathbb{Q}]$ とします。$K$ の元で、$\mathbb{Z}$ 係数のモニック多項式の根になるもの全体を $\mathcal{O}_K$（整数環）と書き、その単元群 $\mathcal{O}_K^{\times}$ の元を単数と呼びます。$K$ から $\mathbb{C}$ への体の埋め込みは $n$ 個あり、そのうち実数値のものが $r_1$ 個、複素共役で対になる虚のものが $r_2$ 対あって $r_1 + 2r_2 = n$ です。$K$ に含まれる 1 のべき根全体を $\mu_K$、$\zeta^n = 1$ となる $\zeta \in K$ の全体を $\mu_n$ と書きます。

定義 2.1（素点と付値）↗

$\mathcal{O}_K$ の $0$ でない素イデアルを $K$ の有限素点、$K$ の実の埋め込み（$r_1$ 個）と虚の埋め込みの共役対（$r_2$ 個）を無限素点という。無限素点の全体を $S_\infty$ と書き、$|S_\infty| = r_1 + r_2$ である。有限素点 $\mathfrak{p}$ と $a \in K^{\times}$ に対し、単項分数イデアル $a\mathcal{O}_K$ の素イデアル分解（下の 定理 2.2 の 1）における $\mathfrak{p}$ の指数を $v_{\mathfrak{p}}(a) \in \mathbb{Z}$ と書き、$\mathfrak{p}$ 進付値という。

次の事実は代数的整数論の入口で証明されるもので、前の 2 章で示しました。ここではそれを本記事で使う形にまとめます。

定理 2.2（整数環の基本事実）✓

$K$ を代数体とする。

1. （イデアルの素因数分解） $K$ の $0$ でない分数イデアル $\mathfrak{a}$ は、有限個を除いて $0$ の整数 $v_{\mathfrak{p}}(\mathfrak{a})$ を用いて $\mathfrak{a} = \prod_{\mathfrak{p}} \mathfrak{p}^{v_{\mathfrak{p}}(\mathfrak{a})}$ と一意に書ける。分数イデアルは積について群をなし、$v_{\mathfrak{p}}$ は準同型である。特に $v_{\mathfrak{p}} : K^{\times} \to \mathbb{Z}$ は準同型で、$a \in \mathcal{O}_K \iff$ すべての $\mathfrak{p}$ で $v_{\mathfrak{p}}(a) \ge 0$ が成り立つ。
2. （類数の有限性） 分数イデアルの群を単項分数イデアルの部分群で割ったイデアル類群 $\mathrm{Cl}_K$ は有限群である。その位数 $h_K$ を類数という。
3. （格子） $\mathcal{O}_K$ は階数 $n$ の自由 $\mathbb{Z}$ 加群であり、$j : K \to \mathbb{R}^{r_1} \times \mathbb{C}^{r_2} \cong \mathbb{R}^n$ を実の埋め込みと各対から 1 つずつ選んだ虚の埋め込みを並べた写像とすると、$j(\mathcal{O}_K)$ の $\mathbb{Z}$ 基底は $\mathbb{R}$ 上一次独立（つまり $j(\mathcal{O}_K)$ は $\mathbb{R}^n$ の格子）である。また $\alpha \in \mathcal{O}_K$ の特性多項式 $\prod_{\sigma}(x - \sigma(\alpha))$（$\sigma$ は $n$ 個の埋め込み全体）は $\mathbb{Z}$ 係数であり、その定数項は $\pm N(\alpha)$、$N(\alpha) := \prod_\sigma \sigma(\alpha) \in \mathbb{Z}$ である。
4. （拡大での分解） $L/K$ を代数体の有限次拡大とする。$\mathcal{O}_L$ の素イデアル $\mathfrak{P}$ に対し $\mathfrak{p} = \mathfrak{P} \cap \mathcal{O}_K$ は $K$ の素イデアルで（$\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}$ と書く）、$\mathfrak{p}\mathcal{O}_L = \prod_{\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}} \mathfrak{P}^{e(\mathfrak{P}\mid\mathfrak{p})}$（$e(\mathfrak{P}\mid\mathfrak{p}) \ge 1$）と分解する。

証明（定理 2.2）

1. $\mathcal{O}_K$ は Dedekind 整域なので（定理 4.2［代数体の整数環と Dedekind 整域］）、分数イデアルの群と一意分解は 定理 4.7［代数体の整数環と Dedekind 整域］ の 1・2、$v_{\mathfrak{p}}$ が準同型であることと整数性の判定は 系 4.8［代数体の整数環と Dedekind 整域］ です。

2. 定理 4.3［イデアル類群の有限性と Minkowski 限界］ です。

3. 自由性は 定理 3.4［代数体の整数環と Dedekind 整域］ の 1、$j(\mathcal{O}_K)$ が格子であることは 命題 3.2［イデアル類群の有限性と Minkowski 限界］、特性多項式が $\mathbb{Z}$ 係数であることは 命題 3.3［代数体の整数環と Dedekind 整域］ の 1 です（定数項は $(-1)^nN(\alpha)$）。

4. $\mathcal{O}_L = L \cap \overline{\mathbb{Z}}$ なので $\mathcal{O}_L \cap K = \mathcal{O}_K$ です。$\mathfrak{p} = \mathfrak{P} \cap \mathcal{O}_K$ は $1$ を含まない $\mathcal{O}_K$ の素イデアルで、$\mathfrak{P}$ に含まれる正の整数（定理 4.2［代数体の整数環と Dedekind 整域］ の証明）を含むので $0$ でなく、したがって極大です。$\mathfrak{p}\mathcal{O}_L \subseteq \mathfrak{P}$ なので、$\mathcal{O}_L$ での「含むことは割ること」（定理 4.7［代数体の整数環と Dedekind 整域］ の 4）から $\mathfrak{P}$ は $\mathfrak{p}\mathcal{O}_L$ の素因子です。逆に $\mathfrak{p}\mathcal{O}_L$ の素因子 $\mathfrak{Q}$ は $\mathfrak{p}$ を含むので $\mathfrak{Q} \cap \mathcal{O}_K \supseteq \mathfrak{p}$、極大性から等号が成り立ちます。よって $\mathfrak{p}\mathcal{O}_L$ の素イデアル分解は、$\mathfrak{p}$ の上にある $\mathfrak{P}$ をちょうど指数 $e(\mathfrak{P}\mid\mathfrak{p}) \ge 1$ で含みます。

∎

注意 2.3（単数の判定）

1 から、$a \in K^{\times}$ が単数であることと「すべての $\mathfrak{p}$ で $v_{\mathfrak{p}}(a) = 0$」は同値です（$a$ と $a^{-1}$ の両方が $\mathcal{O}_K$ に入る条件だからです。系 4.8［代数体の整数環と Dedekind 整域］）。また本記事では、Dirichlet の単数定理 定理 6.1［イデアル類群の有限性と Minkowski 限界］（$\mu_K$ は有限巡回群で $\mathcal{O}_K^{\times} \cong \mu_K \times \mathbb{Z}^{r_1 + r_2 - 1}$）を使います。

定義 2.4（不分岐）↗

定理 2.2 の 4 の $e(\mathfrak{P}\mid\mathfrak{p})$ を分岐指数という。$\mathfrak{p}$ の上のすべての $\mathfrak{P}$ で $e(\mathfrak{P}\mid\mathfrak{p}) = 1$ のとき、$L/K$ は $\mathfrak{p}$ で不分岐であるという。$S$ を $K$ の素点の有限集合とするとき、$S$ に属さないすべての有限素点で不分岐な拡大を $S$ の外で不分岐という。

補題 2.5（付値の延長）✓

$L/K$ を代数体の有限次拡大、$\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}$ とする。すべての $a \in K^{\times}$ に対して $v_{\mathfrak{P}}(a) = e(\mathfrak{P}\mid\mathfrak{p})\, v_{\mathfrak{p}}(a)$ である。

証明（補題 2.5）

定理 2.2 の 1 により $a\mathcal{O}_K = \prod_{\mathfrak{q}} \mathfrak{q}^{v_{\mathfrak{q}}(a)}$ です。分数イデアルを $\mathcal{O}_L$ へ持ち上げる操作 $\mathfrak{a} \mapsto \mathfrak{a}\mathcal{O}_L$ は積を保つ（生成元どうしの積で生成されるため）ので、4 を代入して

$$a\mathcal{O}_L = \prod_{\mathfrak{q}} \bigl(\mathfrak{q}\mathcal{O}_L\bigr)^{v_{\mathfrak{q}}(a)} = \prod_{\mathfrak{q}} \prod_{\mathfrak{Q} \mid \mathfrak{q}} \mathfrak{Q}^{e(\mathfrak{Q}\mid\mathfrak{q})\, v_{\mathfrak{q}}(a)}$$

を得ます。$\mathfrak{Q} \mid \mathfrak{q}$ は $\mathfrak{q} = \mathfrak{Q} \cap \mathcal{O}_K$ を意味するので、相異なる $\mathfrak{q}$ の上にある $\mathfrak{Q}$ どうしは重なりません。よって右辺は $\mathcal{O}_L$ での素イデアル分解そのものであり、分解の一意性（$L$ に対する 1）から $\mathfrak{P}$ の指数を読み取ると $v_{\mathfrak{P}}(a) = e(\mathfrak{P}\mid\mathfrak{p})\, v_{\mathfrak{p}}(a)$ です。

∎

3. S 単数群の構造定理

以下、$S$ は $S_\infty$ を含む $K$ の素点の有限集合とし、$S_f = S \setminus S_\infty$（有限素点の部分）とおきます。

定義 3.1（S 整数と S 単数）↗

$$\mathcal{O}_S := \{\, a \in K \mid a = 0 \ \text{または}\ \mathfrak{p} \notin S \text{ のすべてで } v_{\mathfrak{p}}(a) \ge 0 \,\}$$

を S 整数環、その単元群

$$\mathcal{O}_S^{\times} = \{\, a \in K^{\times} \mid \mathfrak{p} \notin S \text{ のすべてで } v_{\mathfrak{p}}(a) = 0 \,\}$$

を S 単数群という。

$v_{\mathfrak{p}}$ が準同型で $v_{\mathfrak{p}}(a+b) \ge \min(v_{\mathfrak{p}}(a), v_{\mathfrak{p}}(b))$（$a + b \neq 0$ のとき。$\mathfrak{p}^k$ を含むイデアルの和がまた $\mathfrak{p}^k$ に含まれることから）を満たすので、$\mathcal{O}_S$ は環です。$a, a^{-1}$ がともに $\mathcal{O}_S$ に入る条件が「$S$ の外で $v_{\mathfrak{p}}(a) = 0$」なので、単元群は上の形になります。$S = S_\infty$ なら 定理 2.2 の 1 により $\mathcal{O}_S = \mathcal{O}_K$ です。

定理 3.2（S 単数定理）✓

$K$ を代数体、$S \supseteq S_\infty$ を素点の有限集合とする。$\mathcal{O}_S^{\times}$ は有限生成アーベル群で、

$$\mathcal{O}_S^{\times} \cong \mu_K \times \mathbb{Z}^{|S| - 1}, \qquad |S| - 1 = r_1 + r_2 + |S_f| - 1$$

である。

証明の方針は次のとおりです。各元に「$S$ の有限素点での付値を並べたベクトル」を対応させる写像 $\phi$ を作ると、核が通常の単数群 $\mathcal{O}_K^{\times}$（階数は Dirichlet の単数定理で既知）、像が整数格子 $\mathbb{Z}^s$ の中の自由群になります。類数が有限であることは、像が $\mathbb{Z}^s$ の中で指数有限、つまり $s$ 個の独立な方向がすべてそろうことを保証します。核の階数と像の階数を足すのが答えです。

証明（定理 3.2）

$s = |S_f|$ とし、$S_f = \{\mathfrak{p}_1, \ldots, \mathfrak{p}_s\}$ とおきます。準同型

$$\phi : \mathcal{O}_S^{\times} \to \mathbb{Z}^s, \qquad a \mapsto \bigl(v_{\mathfrak{p}_1}(a), \ldots, v_{\mathfrak{p}_s}(a)\bigr)$$

を考えます（各 $v_{\mathfrak{p}}$ が準同型なので $\phi$ も準同型です）。

核。 $\phi(a) = 0$ とは、$S$ の外でも内でも $v_{\mathfrak{p}}(a) = 0$、すなわちすべての有限素点で付値が $0$ であることです。系 4.8［代数体の整数環と Dedekind 整域］ で見たとおり、これは $a \in \mathcal{O}_K^{\times}$ と同値です。よって $\ker\phi = \mathcal{O}_K^{\times}$。

像は指数有限。 $h = h_K$ とします（定理 2.2 の 2）。イデアル類群の元の位数は群の位数を割るので（系 7.1［部分群と剰余類］）、$\mathfrak{p}_i^{h}$ の類は単位元、つまり $\mathfrak{p}_i^{h} = \pi_i \mathcal{O}_K$ となる $\pi_i \in \mathcal{O}_K$ があります。分解の一意性から $v_{\mathfrak{q}}(\pi_i) = h$（$\mathfrak{q} = \mathfrak{p}_i$）、$0$（それ以外）なので、$\pi_i \in \mathcal{O}_S^{\times}$ かつ $\phi(\pi_i) = h\boldsymbol{e}_i$ です。したがって $h\mathbb{Z}^s \subseteq \Gamma := \phi(\mathcal{O}_S^{\times}) \subseteq \mathbb{Z}^s$。

像は階数 $s$ の自由群。 定理 3.1［加群と PID 上の構造定理］ により $\Gamma$ は高々 $s$ 個の元を基底に持つ自由加群です。一方 $\Gamma$ は一次独立な $h\boldsymbol{e}_1, \ldots, h\boldsymbol{e}_s$ を含むので、基底の個数はちょうど $s$ です（$\mathbb{Q}$ 上に係数拡大すると、基底の個数は $\Gamma$ が張る $\mathbb{Q}^s$ の部分空間の次元 $s$ に等しい）。

分裂。 $\Gamma$ の基底 $\gamma_1, \ldots, \gamma_s$ に対し $\phi(b_i) = \gamma_i$ となる $b_i$ を選ぶと、

$$\mathcal{O}_K^{\times} \times \mathbb{Z}^s \to \mathcal{O}_S^{\times}, \qquad (u, m_1, \ldots, m_s) \mapsto u\, b_1^{m_1} \cdots b_s^{m_s}$$

は同型です。実際、単射性は $\phi$ で移せば $m_i = 0$、残りから $u = 1$ が出ることから、全射性は任意の $a$ に対し $\phi(a) = \sum m_i\gamma_i$ と書いて $u = a \prod b_i^{-m_i} \in \ker\phi$ とすればよいことからわかります。最後に Dirichlet の単数定理 定理 6.1［イデアル類群の有限性と Minkowski 限界］ を代入すると $\mathcal{O}_S^{\times} \cong \mu_K \times \mathbb{Z}^{r_1 + r_2 - 1 + s}$ です。

∎

この証明で、類数の有限性がちょうど「像の指数が有限」という形で効いていることに注意してください。$\mathfrak{p}$ そのものが単項でなくても、そのべき $\mathfrak{p}^h$ は単項なので、$\mathfrak{p}$ ごとに 1 本ずつ新しい独立な方向が増えます。

例 3.3（有理数体の S 単数）

$K = \mathbb{Q}$ では $r_1 = 1$、$r_2 = 0$、$\mathcal{O}_K^{\times} = \mu_{\mathbb{Q}} = \{\pm1\}$、$h = 1$ です。$S = \{\infty, 2, 3\}$ なら $\mathcal{O}_S = \mathbb{Z}[1/6]$、$\mathcal{O}_S^{\times} = \{\pm 2^a 3^b\}$ で、階数は $2 = 1 + 0 + 2 - 1$ です。定理 3.2 の証明の $\phi$ は $\pm 2^a 3^b \mapsto (a, b)$ で、この場合は全射です。

例 3.4（実 2 次体と対数埋め込み）

$K = \mathbb{Q}(\sqrt2)$ では $r_1 = 2$、$r_2 = 0$ なので、$S = S_\infty$ のとき階数は $1$ です。$\varepsilon = 1 + \sqrt2$ は $\varepsilon(\sqrt2 - 1) = 1$ を満たす単数で、実は $\mathcal{O}_K^{\times} = \{\pm \varepsilon^k\}$ となります（基本単数）。2 つの実の埋め込み（$\sqrt2 \mapsto \pm\sqrt2$）で $\varepsilon \mapsto 1 + \sqrt2,\ 1 - \sqrt2$ なので、対数ベクトル $(\log|1+\sqrt2|, \log|1-\sqrt2|) \approx (0.881, -0.881)$ は直線 $x + y = 0$ の上にあります。イデアル類群の有限性と Minkowski 限界 での単数定理の証明は、この「単数の対数は和が $0$ の超平面の格子をなす」という図を一般化したものです。$S$ に $\mathfrak{p} = \sqrt2\,\mathcal{O}_K$（$2\mathcal{O}_K = \mathfrak{p}^2$）を加えると、$\sqrt2$ が新たな S 単数となり、階数は $2$ に上がります。

Q(√2) の単数 ±(1+√2)^k の対数ベクトル。すべて直線 x+y=0 上の等間隔の点（階数 1 の格子）になる

4. Hilbert の定理 90

この節と次節では、$K$ は標数 $0$ の任意の体とします（代数体である必要はありません）。有限次ガロア拡大 $L/K$、$G = \mathrm{Gal}(L/K)$ に対し、$\beta \in L$ のノルムを $N_{L/K}(\beta) := \prod_{\tau \in G} \tau(\beta)$ と定めます。各 $\sigma \in G$ を施すと積の因子が並べ替わるだけなので $N_{L/K}(\beta) \in L^G = K$ です（定理 4.1［ガロア理論への招待］ の 1）。

定理 4.1（Hilbert の定理 90）✓

$L/K$ を次数 $d$ の巡回拡大（ガロア群が巡回群のガロア拡大）とし、$\sigma$ をガロア群の生成元とする。$\beta \in L$ が $N_{L/K}(\beta) = 1$ を満たすならば、ある $c \in L^{\times}$ により $\beta = c/\sigma(c)$ と書ける。

証明（定理 4.1）

$\sigma^0 = \mathrm{id}, \sigma, \ldots, \sigma^{d-1}$ は相異なる体の準同型 $L \to L$ です。係数

$$\beta_0 = 1,\quad \beta_1 = \beta,\quad \beta_2 = \beta\,\sigma(\beta),\quad \ldots,\quad \beta_{d-1} = \beta\,\sigma(\beta)\cdots\sigma^{d-2}(\beta)$$

はどれも $0$ でない（$\beta \neq 0$ はノルムが $1$ であることから従う）ので、Dedekind の補題 補題 7.6［ガロア理論への招待］ により

$$c := \sum_{i=0}^{d-1} \beta_i\, \sigma^i(\theta) \neq 0$$

となる $\theta \in L$ が取れます。$\beta\,\sigma(\beta_i) = \beta_{i+1}$（$0 \le i \le d-2$）と $\beta\,\sigma(\beta_{d-1}) = N_{L/K}(\beta) = 1 = \beta_0$、$\sigma^d = \mathrm{id}$ を使うと

$$\beta\,\sigma(c) = \sum_{i=0}^{d-1} \beta\,\sigma(\beta_i)\, \sigma^{i+1}(\theta) = \sum_{i=0}^{d-2} \beta_{i+1}\sigma^{i+1}(\theta) + \beta_0\,\theta = c$$

です。$\sigma(c) \neq 0$ なので $\beta = c/\sigma(c)$ です。

∎

逆に $\beta = c/\sigma(c)$ ならノルムは $\prod_i \sigma^i(c)/\sigma^{i+1}(c) = 1$ なので、定理は「ノルム $1$ の元」と「$c/\sigma(c)$ の形の元」が一致すると言っています。番号 90 は、Hilbert が 1897 年の報告（Zahlbericht）でこの主張に付けた定理番号に由来します。

5. Kummer 理論

以下、$n \ge 1$ とし、$K$ は 1 の $n$ 乗根を $n$ 個含む（$|\mu_n| = n$）と仮定します。$\mu_n$ は $K^{\times}$ の有限部分群なので巡回群です（定理 7.3［多項式環と体の拡大］）。生成元を $\omega$ とすると、$d \mid n$ に対し $\zeta^d = 1$ を満たす $\zeta \in \mu_n$ はちょうど $\omega^{kn/d}$（$0 \le k \lt d$）の $d$ 個で、$\omega^{n/d}$ の位数は $d$ です。また $x^n - 1$ の根は高々 $n$ 個なので、$K$ の代数閉包 $\bar K$ の中の 1 の $n$ 乗根もすべて $\mu_n$ に属します。$\bar K$ を一つ固定し、部分群 $K^{\times n} \subseteq \Delta \subseteq K^{\times}$ に対して

$$K(\sqrt[n]{\Delta}) := K\bigl(\{\, b \in \bar K \mid b^n \in \Delta \,\}\bigr)$$

とおきます。拡大 $L/K$ が指数 $n$ のアーベル拡大であるとは、ガロア拡大でガロア群がアーベル群かつすべての元の $n$ 乗が単位元になることとします。

次の補題の動機を先に述べます。$b^n = a$ となる $b$ に $\sigma$ を施すと、$\sigma(b)$ も $x^n = a$ の根なので、$\sigma(b)/b$ は 1 の $n$ 乗根です。つまり「ガロア群の元がどの 1 の $n$ 乗根をかけるか」という数が、$a$ と $\sigma$ のペアに対して決まります。これを使うと、ガロア群と $K^{\times}/K^{\times n}$ の部分群が互いの双対として結び付きます。

補題 5.1（Kummer 対）✓

$L/K$ を有限次ガロア拡大、$G = \mathrm{Gal}(L/K)$ とし、$\Delta_L := K^{\times} \cap L^{\times n}$ とおく。$\sigma \in G$ と $a \in \Delta_L$ に対し、$b^n = a$ となる $b \in L$ を選んで $\langle \sigma, a \rangle := \sigma(b)/b$ と定めると、

1. $\langle \sigma, a \rangle \in \mu_n$ で、$b$ の選び方によらない。
2. $\langle \sigma\tau, a \rangle = \langle \sigma, a \rangle\langle \tau, a \rangle$、$\langle \sigma, aa' \rangle = \langle \sigma, a \rangle\langle \sigma, a' \rangle$。
3. すべての $\sigma$ で $\langle \sigma, a \rangle = 1$ となるのは $a \in K^{\times n}$ のとき、かつそのときに限る。

証明（補題 5.1）

1. $(\sigma(b)/b)^n = \sigma(a)/a = 1$ です。別の選び方 $b'$ は $(b'/b)^n = 1$ より $b' = \zeta b$（$\zeta \in \mu_n \subseteq K$）で、$\sigma(\zeta b)/(\zeta b) = \sigma(b)/b$ です。

2. $\tau(b)/b \in \mu_n \subseteq K$ は $\sigma$ で動かないので

$$\frac{\sigma\tau(b)}{b} = \sigma\!\left(\frac{\tau(b)}{b}\right)\frac{\sigma(b)}{b} = \frac{\tau(b)}{b}\cdot\frac{\sigma(b)}{b}$$

です。$a$ について：$b^n = a$、$b'^n = a'$ なら $(bb')^n = aa'$ なので $bb'$ を使えば積になります。

3. すべての $\sigma$ で $\sigma(b) = b$ なら $b \in L^G = K$（定理 4.1［ガロア理論への招待］ の 1）なので $a = b^n \in K^{\times n}$ です。逆に $a = c^n$（$c \in K$）なら $b = c$ と選べて $\sigma(c)/c = 1$ です。

∎

定理 5.2（Kummer 拡大と巡回拡大）✓

$K$ を標数 $0$ で $|\mu_n| = n$ を満たす体とする。

1. $a \in K^{\times}$、$b \in \bar K$、$b^n = a$ とする。$K(b)/K$ は巡回拡大で、その次数は $a$ の $K^{\times}/K^{\times n}$ での位数 $d$ に等しい。特に $d \mid n$。
2. 逆に $L/K$ が次数 $d$（$d \mid n$）の巡回拡大ならば、$b^d \in K$ かつ $L = K(b)$ となる $b \in L$ が存在する。特に $a = b^n \in K^{\times}$ について $L = K(\sqrt[n]{a})$ である。

証明（定理 5.2）

1. $x^n - a$ の根は $\zeta b$（$\zeta \in \mu_n$）で、すべて $K(b)$ に入ります。よって $K(b)$ は $x^n - a$ の最小分解体で、ガロア拡大です（定義 3.1［ガロア理論への招待］）。$G = \mathrm{Gal}(K(b)/K)$ とおくと、補題 5.1 の 2 より $\chi : \sigma \mapsto \langle\sigma, a\rangle$ は準同型 $G \to \mu_n$ で、$\sigma$ は $\sigma(b)$ で決まるので単射です。$\chi(G)$ は $K^{\times}$ の有限部分群なので巡回群です（定理 7.3［多項式環と体の拡大］）。よって $G$ は巡回群で、その位数を $d'$ とします。

   • $\chi(G)$ の元はすべて $\zeta^{d'} = 1$ を満たすので $\sigma(b^{d'}) = b^{d'}$、ゆえに $b^{d'} \in K$ で、$a^{d'} = (b^{d'})^n \in K^{\times n}$。したがって $d \mid d'$。
   • $a^d = c^n$（$c \in K$）とすると $(b^d/c)^n = 1$ より $b^d \in K$ なので、すべての $\sigma$ で $\chi(\sigma)^d = \sigma(b^d)/b^d = 1$。巡回群 $G$ の生成元の位数 $d'$ は $d$ を割ります。

   以上で $d = d'$、そして 定理 4.1［ガロア理論への招待］ の 1 により $[K(b):K] = |G| = d$ です。$a^n = (a)^n \in K^{\times n}$ なので $d \mid n$。

2. $\sigma$ を $\mathrm{Gal}(L/K)$ の生成元、$\zeta \in \mu_n$ を位数 $d$ の元とします。$\zeta \in K$ なので $N_{L/K}(\zeta^{-1}) = \zeta^{-d} = 1$。Hilbert の定理 90（定理 4.1）から $\zeta^{-1} = b/\sigma(b)$、すなわち $\sigma(b) = \zeta b$ となる $b \in L^{\times}$ があります。$\sigma^i(b) = \zeta^i b$（$0 \le i \lt d$）は相異なるので、$b$ を固定する $G$ の元は単位元だけです。ガロア対応（定理 4.1［ガロア理論への招待］ の 2）で $\mathrm{Gal}(L/K(b)) = \{\mathrm{id}\}$ は中間体 $L$ に対応するので $K(b) = L$ です。また $\sigma(b^d) = \zeta^d b^d = b^d$ より $b^d \in K$。$a = b^n = (b^d)^{n/d} \in K^{\times}$ で、$b$ は $x^n - a$ の根です。

∎

2 の証明が Hilbert の定理 90 の典型的な使い方です。「$\sigma$ の固有値 $\zeta$ を持つ固有ベクトル $b$」を探していて、その存在がノルム条件 $N(\zeta^{-1}) = 1$ に翻訳されています。

補題 5.3（有限アーベル群の双対）✓

$A$ を有限アーベル群で、すべての元 $x$ が $x^n = 1$ を満たすものとする。このとき $|\mathrm{Hom}(A, \mu_n)| = |A|$ であり、単位元でない $x \in A$ に対して $\chi(x) \neq 1$ となる $\chi \in \mathrm{Hom}(A, \mu_n)$ が存在する。

証明（補題 5.3）

系 6.1［加群と PID 上の構造定理］ により $A \cong \mathbb{Z}/d_1 \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}/d_s$ で、指数の仮定から各 $d_i \mid n$ です。$\mathbb{Z}/d_i$ からの準同型は $1$ の行き先 $\zeta$（$\zeta^{d_i} = 1$ を満たす任意の元）で決まり、そのような $\zeta \in \mu_n$ は上で見たとおり $d_i$ 個です。直和からの準同型は成分ごとの準同型の組なので $|\mathrm{Hom}(A, \mu_n)| = \prod_i d_i = |A|$ です。$x = (x_1, \ldots, x_s) \neq 0$ なら、ある $i$ で $x_i \not\equiv 0 \pmod{d_i}$ です。位数 $d_i$ の $\eta \in \mu_n$ を取り $\chi(y) = \eta^{y_i}$ とおくと $\chi(x) = \eta^{x_i} \neq 1$ です。

∎

定理 5.4（Kummer 理論の基本定理）✓

$K$ を標数 $0$ で $|\mu_n| = n$ を満たす体とする。

1. $K^{\times n} \subseteq \Delta \subseteq K^{\times}$ で $\Delta/K^{\times n}$ が有限ならば、$L = K(\sqrt[n]{\Delta})$ は指数 $n$ の有限次アーベル拡大で、Kummer 対は同型

$$\mathrm{Gal}(L/K) \cong \mathrm{Hom}(\Delta/K^{\times n}, \mu_n), \qquad \Delta/K^{\times n} \cong \mathrm{Hom}(\mathrm{Gal}(L/K), \mu_n)$$

を与える。特に $[L:K] = [\Delta : K^{\times n}]$。 2. 対応 $\Delta \mapsto K(\sqrt[n]{\Delta})$ は、1 の形の部分群 $\Delta$ の全体から、$\bar K$ に含まれる指数 $n$ の有限次アーベル拡大 $L/K$ の全体への、包含関係を保つ全単射であり、逆写像は $L \mapsto \Delta_L = K^{\times} \cap L^{\times n}$ である。

証明の流れは次のとおりです。Kummer 対から、ガロア群 $G$ が $\mathrm{Hom}(\Delta/K^{\times n}, \mu_n)$ の部分群と、$\Delta/K^{\times n}$ が $\mathrm{Hom}(G, \mu_n)$ の部分群と同型であることが出ます。有限アーベル群とその双対の位数は等しい（補題 5.3）ので、位数の不等式が輪になって閉じ、どちらの埋め込みも全単射になります。これが挟み撃ちの役割です。

証明（定理 5.4）

1. $\Delta$ を $K^{\times n}$ を法として生成する $a_1, \ldots, a_r$ と、$b_i^n = a_i$ となる $b_i \in \bar K$ を選びます。$b^n \in \Delta$ なら $b^n = c^n \prod a_i^{m_i}$（$c \in K$）と書け、$(b / c\prod b_i^{m_i})^n = 1$ なので $b = \zeta c \prod b_i^{m_i}$（$\zeta \in \mu_n$）です。よって $L = K(b_1, \ldots, b_r)$ で、これは $\prod_i (x^n - a_i)$ の最小分解体なのでガロア拡大です。$G = \mathrm{Gal}(L/K)$ とします。$\Delta \subseteq \Delta_L$ なので 補題 5.1 が使え、$\langle\sigma, ac^n\rangle = \langle\sigma, a\rangle$（$c \in K$ のとき $\langle \sigma, c^n\rangle = 1$）より対は $\Delta/K^{\times n}$ 上で定まります。

• $\alpha : G \to \mathrm{Hom}(\Delta/K^{\times n}, \mu_n)$、$\sigma \mapsto \langle\sigma, \cdot\rangle$ は準同型で、$\alpha(\sigma) = 1$ なら $\sigma(b_i) = b_i$（すべての $i$）なので $\sigma = \mathrm{id}$。よって単射で、$G$ は指数 $n$ のアーベル群 $\mathrm{Hom}(\Delta/K^{\times n}, \mu_n)$ の部分群と同型です。
• $\beta : \Delta/K^{\times n} \to \mathrm{Hom}(G, \mu_n)$、$a \mapsto \langle\cdot, a\rangle$ は準同型で、補題 5.1 の 3 より単射です。

$\Delta/K^{\times n}$ と $G$ はともに指数 $n$ の有限アーベル群なので、補題 5.3 を 2 回使って

$$|G| \le |\mathrm{Hom}(\Delta/K^{\times n}, \mu_n)| = |\Delta/K^{\times n}| \le |\mathrm{Hom}(G, \mu_n)| = |G|$$

です。すべて等号なので、有限集合の間の単射 $\alpha, \beta$ は全単射です。$[L:K] = |G|$ は 定理 4.1［ガロア理論への招待］ の 1 によります。

2. まず、指数 $n$ の有限次アーベル拡大 $L/K$ について、上の $\beta$ と同じ写像 $\Delta_L/K^{\times n} \to \mathrm{Hom}(G, \mu_n)$ が単射なので $\Delta_L/K^{\times n}$ は有限で、$\Delta_L$ は 1 の形の部分群です。

(a) $L = K(\sqrt[n]{\Delta})$ なら $\Delta_L = \Delta$：$\Delta \subseteq \Delta_L$ は定義から明らかです。$a = c^n \in \Delta_L$（$c \in L$）の $n$ 乗根 $\zeta c$ はすべて $L$ に入るので $K(\sqrt[n]{\Delta_L}) = L$ です。1 を $\Delta$ と $\Delta_L$ に適用すると $[\Delta_L : K^{\times n}] = [L:K] = [\Delta : K^{\times n}]$ なので $\Delta_L = \Delta$。

(b) $L$ が指数 $n$ の有限次アーベル拡大なら $K(\sqrt[n]{\Delta_L}) = L$：$L' = K(\sqrt[n]{\Delta_L}) \subseteq L$ は (a) と同じ理由で成り立ちます。$\sigma \in \mathrm{Gal}(L/L')$ が単位元でないと仮定します。補題 5.3 により $\chi(\sigma) \neq 1$ となる $\chi \in \mathrm{Hom}(G, \mu_n)$ があります。$H = \ker\chi$ は（$G$ がアーベル群なので）正規部分群で、$M = L^H$ とおくと 定理 4.1［ガロア理論への招待］ より $M/K$ はガロア拡大で $\mathrm{Gal}(M/K) \cong G/H \cong \chi(G)$ です。$\chi(G)$ は $\mu_n$ の部分群なので位数 $d \mid n$ の巡回群（定理 7.3［多項式環と体の拡大］）で、定理 5.2 の 2 により $M = K(b)$、$b^n \in K$ と書けます。$b \in L$ なので $b^n \in \Delta_L$、したがって $b \in L'$ で、$M \subseteq L'$ です。すると $\sigma$ は $M$ を固定し、ガロア対応で $\sigma \in \mathrm{Gal}(L/M) = H$、すなわち $\chi(\sigma) = 1$ となって矛盾です。よって $\mathrm{Gal}(L/L') = \{\mathrm{id}\}$ で、ガロア対応から $L' = L$。

(a) と (b) は二つの写像が互いに逆であることを述べています。包含を保つことは定義から直ちにわかります。

∎

例 5.5（Q(√2, √3) の Kummer 記述）

$K = \mathbb{Q}$、$n = 2$（$\mu_2 = \{\pm1\} \subseteq \mathbb{Q}$）とします。$\Delta$ を $2, 3$ と $\mathbb{Q}^{\times 2}$ が生成する群とすると、$\Delta/\mathbb{Q}^{\times 2} = \{1, 2, 3, 6\} \cong (\mathbb{Z}/2)^2$ です（$2, 3, 6$ はどれも有理数の平方ではない）。定理 5.4 より $L = \mathbb{Q}(\sqrt2, \sqrt3)$ は次数 $4$ で、位数 $2$ の部分群 $\{1, 2\}, \{1, 3\}, \{1, 6\}$ が 2 次の中間体 $\mathbb{Q}(\sqrt2), \mathbb{Q}(\sqrt3), \mathbb{Q}(\sqrt6)$ に対応します。$\sqrt6$ を添加しなくても $\sqrt6 = \sqrt2\sqrt3 \in L$ となるのは、$\Delta$ が群であること（$6 = 2 \cdot 3$）の反映です。ガロア理論への招待 の 例 4.3［ガロア理論への招待］ で中間体を直接求めた結果と一致します。

注意 5.6（1 の n 乗根の仮定）

$|\mu_n| = n$ は外せません。$K = \mathbb{Q}$、$n = 3$ では $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}$ は $x^3 - 2$ の他の根 $\omega\sqrt[3]{2}$（$\omega$ は 1 の原始 3 乗根）を含まないのでガロア拡大ですらありません（例 3.4［ガロア理論への招待］）。$K = \mathbb{Q}(\omega)$ に上げると $K(\sqrt[3]{2})/K$ は次数 $3$ の巡回拡大になります。また標数 $p \gt 0$ の体でも $p \nmid n$ なら同じ議論が通り、$n = p$ の場合は Artin–Schreier 理論（$x^p - x - a$ の添加）が Kummer 理論の代わりをします（参考文献 [3] 第 VI 章）。

6. S の外で不分岐な Kummer 拡大の有限性

再び $K$ を代数体、$S \supseteq S_\infty$ を素点の有限集合とします。

定義 6.1（群 K(S, n)）↗

$$K(S, n) := \{\, aK^{\times n} \in K^{\times}/K^{\times n} \mid \mathfrak{p} \notin S \text{ のすべてで } v_{\mathfrak{p}}(a) \equiv 0 \pmod n \,\}$$

とおく。$v_{\mathfrak{p}}(ac^n) = v_{\mathfrak{p}}(a) + n\,v_{\mathfrak{p}}(c)$ なので条件は代表元の取り方によらず、$K(S, n)$ は $K^{\times}/K^{\times n}$ の部分群である。

定理 6.2（K(S, n) の有限性）✓

$K(S, n)$ は有限群で、$|K(S, n)| \le h_K\, |\mathcal{O}_S^{\times}/\mathcal{O}_S^{\times n}|$ である。特に $|\mu_n| = n$ ならば $|K(S, n)| \le h_K\, n^{|S|}$。

証明の考え方です。$K(S,n)$ の元 $a$ は、$S$ の外では付値が $n$ の倍数なので、イデアルとして「$n$ 乗根」$\mathfrak{b}_a$ を取れます。この $\mathfrak{b}_a$ の類群での類を対応させる準同型 $\psi$ を作ると、像は類群に収まって有限です。$\psi$ の核は、イデアルが単項になる、つまり $a$ が S 単数と $n$ 乗の積になる元で、S 単数の有限性から押さえられます。像の大きさと核の大きさを掛ければ上界になります。

証明（定理 6.2）

$\mathrm{Cl}_S$ を、$\mathrm{Cl}_K$ を $S_f$ の素イデアルの類が生成する部分群で割った商群とします。$|\mathrm{Cl}_S| \le h_K$ です。$aK^{\times n} \in K(S,n)$ に対し、分数イデアル $\mathfrak{b}_a := \prod_{\mathfrak{p} \notin S} \mathfrak{p}^{v_{\mathfrak{p}}(a)/n}$（有限積）を作り、$\psi(aK^{\times n}) := [\mathfrak{b}_a] \in \mathrm{Cl}_S$ とおきます。

定義できること。 $a' = ac^n$ なら $\mathfrak{b}_{a'} = \mathfrak{b}_a \prod_{\mathfrak{p} \notin S}\mathfrak{p}^{v_{\mathfrak{p}}(c)} = \mathfrak{b}_a \cdot c\mathcal{O}_K \cdot \prod_{\mathfrak{p} \in S_f}\mathfrak{p}^{-v_{\mathfrak{p}}(c)}$ で、右辺の余分な因子は $\mathrm{Cl}_S$ で自明です。$\mathfrak{b}_{aa'} = \mathfrak{b}_a\mathfrak{b}_{a'}$ なので $\psi$ は準同型です。

核。 $\psi(aK^{\times n}) = 1$ とは $\mathfrak{b}_a = c\mathcal{O}_K \prod_{\mathfrak{p} \in S_f} \mathfrak{p}^{m_{\mathfrak{p}}}$（$c \in K^{\times}$、$m_{\mathfrak{p}} \in \mathbb{Z}$）と書けることです。このとき $\mathfrak{p} \notin S$ で $v_{\mathfrak{p}}(a)/n = v_{\mathfrak{p}}(c)$ なので $u := ac^{-n}$ は $\mathcal{O}_S^{\times}$ に属し、$aK^{\times n} = uK^{\times n}$。逆に $u \in \mathcal{O}_S^{\times}$ なら $\mathfrak{b}_u = \mathcal{O}_K$。よって $\ker\psi$ は $\mathcal{O}_S^{\times} \to K^{\times}/K^{\times n}$ の像で、これは $\mathcal{O}_S^{\times}/\mathcal{O}_S^{\times n}$ の商です。

以上と 系 5.2［群の準同型定理］ から $|K(S,n)| = |\ker\psi|\,|\mathrm{im}\,\psi| \le |\mathcal{O}_S^{\times}/\mathcal{O}_S^{\times n}|\, h_K$ です。

右辺の計算。 定理 3.2 より $\mathcal{O}_S^{\times} \cong \mu_K \times \mathbb{Z}^{|S|-1}$ なので、$\mathcal{O}_S^{\times}/\mathcal{O}_S^{\times n} \cong \mu_K/\mu_K^n \times (\mathbb{Z}/n)^{|S|-1}$ です。$|\mu_n| = n$ なら、$\mu_K \to \mu_K$、$x \mapsto x^n$ の核は $\mu_n$ で、第一同型定理（定理 5.1［群の準同型定理］）から $|\mu_K/\mu_K^n| = |\mu_K|/|\mu_K^n| = |\mu_n| = n$。よって $|\mathcal{O}_S^{\times}/\mathcal{O}_S^{\times n}| = n^{|S|}$ です。

∎

補題 6.3（不分岐なら付値は n の倍数）✓

$L/K$ を代数体の有限次拡大とし、$L/K$ は有限素点 $\mathfrak{p}$ で不分岐とする。$a \in K^{\times}$ が $L$ で $n$ 乗（$a = b^n$、$b \in L^{\times}$）ならば $n \mid v_{\mathfrak{p}}(a)$ である。

証明（補題 6.3）

$\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}$ を一つ取ります（定理 2.2 の 4 で $\mathfrak{p}\mathcal{O}_L \neq \mathcal{O}_L$ の素因子）。補題 2.5 と不分岐の仮定 $e(\mathfrak{P}\mid\mathfrak{p}) = 1$ から $v_{\mathfrak{p}}(a) = v_{\mathfrak{P}}(a) = v_{\mathfrak{P}}(b^n) = n\,v_{\mathfrak{P}}(b)$ です。

∎

定理 6.4（S の外で不分岐な指数 n の拡大の有限性）✓

$K$ を $|\mu_n| = n$ を満たす代数体、$S \supseteq S_\infty$ を素点の有限集合とし、$\Delta_S \subseteq K^{\times}$ を $K(S, n)$ の $K^{\times} \to K^{\times}/K^{\times n}$ による逆像とする。$L_S := K(\sqrt[n]{\Delta_S})$ とおく。

1. $S$ の外で不分岐な指数 $n$ の有限次アーベル拡大 $L/K$（$L \subseteq \bar K$）は、すべて $L_S$ に含まれる。
2. $[L_S : K] = |K(S, n)| \le h_K\, n^{|S|}$ であり、1 のような $L$ は有限個しかない。

証明（定理 6.4）

1. 定理 5.4 の 2 により $L = K(\sqrt[n]{\Delta_L})$、$\Delta_L = K^{\times} \cap L^{\times n}$ です。$a \in \Delta_L$ と $\mathfrak{p} \notin S$ について、$L/K$ は $\mathfrak{p}$ で不分岐なので 補題 6.3 より $n \mid v_{\mathfrak{p}}(a)$。よって $\Delta_L \subseteq \Delta_S$ で、対応が包含を保つことから $L \subseteq L_S$。

2. $\Delta_S/K^{\times n} = K(S,n)$ は 定理 6.2 により有限なので、定理 5.4 の 1 から $[L_S:K] = |K(S,n)|$。1 の $L$ は $\Delta_L/K^{\times n}$ という $K(S,n)$ の部分群で決まり（定理 5.4 の 2 の単射性）、有限群の部分群は有限個なので、$L$ も有限個です。

∎

注意 6.5（逆向きと、1 の n 乗根を含まない場合）

$S$ が $n$ を割るすべての素イデアルを含むとき、逆に $L_S$ 自身が $S$ の外で不分岐であることが示せます。$\mathfrak{p} \nmid n$ で $n \mid v_{\mathfrak{p}}(a)$ なら、$a$ に $K^{\times n}$ の元を掛けて $v_{\mathfrak{p}}(a) = 0$ とでき、$x^n - a$ の判別式 $\pm n^n a^{n-1}$ が $\mathfrak{p}$ と素になるからです。この議論には相対拡大 $L/K$ での「判別式と分岐の関係」が要ります。$K = \mathbb{Q}$ 上の絶対的な場合（分岐する素数と判別式を割る素数が一致すること）は 定理 6.1［代数体の整数環と Dedekind 整域］ と 定理 6.3［代数体の整数環と Dedekind 整域］ で示しましたが、相対版は本記事の範囲を超えるので主張のみとします（[1] 第 I 章、[4]）。このとき $L_S$ は $S$ の外で不分岐な指数 $n$ の最大アーベル拡大です。また $K$ が 1 の $n$ 乗根を含まない場合も、$K(\mu_n)$ に上げて上の定理を使えば有限性は保たれます。より一般に、次数と不分岐の外側 $S$ を固定した代数体の拡大は有限個しかない（Hermite の定理）ことが知られています。

例 6.6（2 の外で不分岐な 2 次体）

$K = \mathbb{Q}$、$n = 2$、$S = \{\infty, 2\}$ とします。$\mathbb{Q}^{\times}/\mathbb{Q}^{\times 2}$ の各類は平方因子を持たない整数 $m$（符号込み）でただ一つ代表されます。奇素数 $p$ で $v_p(m)$ が偶数、すなわち $0$ という条件から $m \in \{1, -1, 2, -2\}$ で、$|K(S,2)| = 4 = h_{\mathbb{Q}} \cdot 2^{|S|}$ と上界に一致します。定理 6.4 より、2 の外で不分岐な 2 次体は $\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$、$\mathbb{Q}(\sqrt2)$、$\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$ のどれかで、すべて $L_S = \mathbb{Q}(\sqrt{-1}, \sqrt2)$（1 の原始 8 乗根で生成される体）に含まれます。たとえば $\mathbb{Q}(\sqrt3)$ は $v_3(3) = 1$ なので、2 以外のどこかの素数で分岐していなければなりません。

この有限性は、楕円曲線 $E$ の有理点の群 $E(K)$ について $E(K)/nE(K)$ が有限である（弱 Mordell–Weil 定理）ことの証明の核心です。$n$ 等分点がすべて $K$ 上定義されている（$E[n] \subseteq E(K)$。このとき Weil 対により $|\mu_n| = n$ も従う）と仮定すると、$P \in E(K)$ に対して $\frac1n P$ の座標を添加した拡大は、$E$ の悪い還元の素点と $n$ の素因子からなる有限集合 $S$ の外で不分岐な指数 $n$ のアーベル拡大になり、その全体が 定理 6.4 により有限な体 $L_S$ に収まります（参考文献 [6] 第 VIII 章 §1）。

7. Chebotarev の密度定理（主張のみ）

$L/K$ を代数体の有限次ガロア拡大、$G = \mathrm{Gal}(L/K)$ とします。$L/K$ で不分岐な $K$ の素イデアル $\mathfrak{p}$ と $\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}$ に対し、すべての $x \in \mathcal{O}_L$ について $\sigma(x) \equiv x^{N\mathfrak{p}} \pmod{\mathfrak{P}}$（$N\mathfrak{p} = |\mathcal{O}_K/\mathfrak{p}|$）を満たす $\sigma \in G$ がただ一つ存在し、Frobenius 元 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ と呼ばれます。$\mathfrak{P}$ を取り替えると共役で移り合うので、共役類 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ が $\mathfrak{p}$ だけで定まります。素イデアルの集合 $T$ の Dirichlet 密度とは、極限

$$\delta(T) = \lim_{s \to 1+0} \frac{\sum_{\mathfrak{p} \in T} N\mathfrak{p}^{-s}}{\log\frac{1}{s-1}}$$

が存在するときのその値です。

定理 7.1（Chebotarev の密度定理）※

$L/K$ を代数体の有限次ガロア拡大、$G = \mathrm{Gal}(L/K)$、$C \subseteq G$ を共役類とする。$L/K$ で不分岐で $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}} = C$ となる $K$ の素イデアル $\mathfrak{p}$ の集合は Dirichlet 密度 $|C|/|G|$ を持つ。特に無限集合である。

注意 7.2（主張のみとする理由と出典）

証明には Hecke の $L$ 関数（あるいは Dedekind ゼータ関数）の $s = 1$ での極と非零性という解析的な入力と、Artin の相互法則を通じて巡回円分拡大の場合へ帰着する類体論的な議論の両方が必要で、本記事の範囲を大きく超えます。Frobenius 元の存在と一意性も分解群の理論を要します。証明は [1] 第 VII 章 §13、歴史と証明の筋道は [5] を参照してください。

Dirichlet の算術級数定理との関係。 $K = \mathbb{Q}$、$L = \mathbb{Q}(\zeta_m)$（$\zeta_m$ は 1 の原始 $m$ 乗根）とすると、$G \cong (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times}$（$\sigma_a(\zeta_m) = \zeta_m^a$）で、$p \nmid m$ の Frobenius 元は $\sigma_p$ です（$x \mapsto x^p$ は法 $p$ で加法的で、$\zeta_m$ を $\zeta_m^p$ に送るため）。$G$ はアーベル群なので共役類は 1 元で、定理 7.1 は「$\gcd(a, m) = 1$ の各類 $a \bmod m$ に素数が密度 $1/\varphi(m)$ で含まれる」こと、すなわち Dirichlet の算術級数定理の密度版を与えます。Chebotarev 自身の証明も、巡回拡大の場合に帰着したうえで、1 のべき根を添加した体との合成を使って円分体の場合に還元するという筋で、本記事の道具と密接に関わっています。素数の分布そのものについては 素数の魅力 - 素数定理 も参照してください。

Kummer 拡大への応用。 $|\mu_n| = n$ の代数体 $K$ と $a \in K^{\times}$ について、「有限個を除くすべての $\mathfrak{p}$ で $a$ が法 $\mathfrak{p}$ の $n$ 乗剰余」ならば $a \in K^{\times n}$ です。$L = K(\sqrt[n]{a})$ では、$\mathfrak{p} \nmid na$ に対し「$a$ が法 $\mathfrak{p}$ の $n$ 乗剰余」と「$\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}} = 1$」が同値になり（この同値も分解群の理論を使うので、ここでは証明しません）、仮定から密度 $1/[L:K]$ が $1$ に等しいので $L = K$、定理 5.2 の 1 で $a$ の位数は $1$ だからです。この議論は 定理 7.1 に依存します。

8. 演習

演習 8.1易

$K = \mathbb{Q}$、$n = 2$、$S = \{\infty, 2, 3\}$ とする。$K(S, 2)$ の元を列挙し、定理 6.2 の上界が等号になることを確かめよ。また、2 と 3 の外で不分岐な 2 次体の候補をすべて挙げ、$L_S$ の $\mathbb{Q}$ 上の次数を求めよ。

解答

平方因子を持たない整数 $m$ で、$2, 3$ 以外の素数で割れないものは $m = \pm1, \pm2, \pm3, \pm6$ の 8 個です。これが $K(S,2)$ の代表系で、$|K(S,2)| = 8 = h_{\mathbb{Q}}\cdot 2^{|S|} = 1 \cdot 2^3$ と上界に一致します（$\mathcal{O}_S^{\times} = \{\pm 2^a3^b\}$ を $2$ 乗で割ると $\{\pm1\}\times\{1,2\}\times\{1,3\}$ と同じ 8 元で、$h = 1$ なので $\psi$ は自明）。定理 6.4 により候補の 2 次体は $\mathbb{Q}(\sqrt m)$、$m \in \{-1, \pm2, \pm3, \pm6\}$ の 7 個で、これは $(\mathbb{Z}/2)^3$ の位数 2 の部分群が 7 個であることに対応します。$L_S = \mathbb{Q}(\sqrt{-1}, \sqrt2, \sqrt3)$ で、$[L_S:\mathbb{Q}] = |K(S,2)| = 8$ です。

演習 8.2標準

$L = \mathbb{Q}(i)$、$K = \mathbb{Q}$、$\sigma$ を複素共役とする。

1. $\beta \in L$ が $N_{L/K}(\beta) = \beta\bar\beta = 1$ かつ $\beta \neq -1$ を満たすとき、$c = 1 + \beta$ が 定理 4.1 の結論 $\beta = c/\sigma(c)$ を満たすことを確かめよ。
2. 1 を使って、$x^2 + y^2 = 1$ の有理数解で $(x, y) \neq (-1, 0)$ のものが、互いに素な整数 $s, t$（$s, t$ が同時に $0$ でない）を用いて $x = \dfrac{s^2 - t^2}{s^2 + t^2}$、$y = \dfrac{2st}{s^2 + t^2}$ と書けることを示せ。

解答

1. $\beta\bar\beta = 1$ より $\bar\beta = 1/\beta$ なので、$\sigma(c) = 1 + \bar\beta = (\beta + 1)/\beta$。$\beta \neq -1$ なので $c \neq 0$ で、$c/\sigma(c) = (1+\beta)\cdot\beta/(1+\beta) = \beta$ です。

2. $\beta = x + yi$ とすると $N(\beta) = 1$、$\beta \neq -1$。1 より $\beta = c/\bar c$ となる $c \in \mathbb{Q}(i)^{\times}$ があり、$c$ を有理数倍しても $c/\bar c$ は変わらないので、分母を払い共通因子で割って $c = s + ti$（$s, t$ は互いに素な整数）と取れます。すると

$$\beta = \frac{s + ti}{s - ti} = \frac{(s+ti)^2}{s^2 + t^2} = \frac{s^2 - t^2}{s^2 + t^2} + \frac{2st}{s^2+t^2}\, i$$

で、実部と虚部を比べれば主張を得ます。分母を払えば、ピタゴラス数 $(s^2 - t^2, 2st, s^2 + t^2)$ の古典的なパラメータ表示です。

演習 8.3標準

$K = \mathbb{Q}(i)$、$\mathfrak{p} = (1+i)\mathbb{Z}[i]$、$S = S_\infty \cup \{\mathfrak{p}\}$ とする。$\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[i]$ が単項イデアル整域で $\mathcal{O}_K^{\times} = \{\pm1, \pm i\}$ であることは用いてよい。

1. $\mathcal{O}_S^{\times} = \{\, i^k(1+i)^m \mid k \in \mathbb{Z}/4,\ m \in \mathbb{Z} \,\}$ を示し、定理 3.2 の階数の公式と比べよ。
2. $n = 4$ とする。$|K(S, 4)| = 16$ を示し、$K$ 上の指数 $4$ のアーベル拡大で $\mathfrak{p}$ の外で不分岐なものは、すべて $K(\sqrt[4]{i}, \sqrt[4]{1+i})$ に含まれることを示せ。

解答

1. $a \in \mathcal{O}_S^{\times}$ とし $m = v_{\mathfrak{p}}(a)$ とおきます。$a(1+i)^{-m}$ はすべての有限素点で付値 $0$ なので単数（系 4.8［代数体の整数環と Dedekind 整域］）、すなわち $i^k$ です。逆に $i^k(1+i)^m$ は $\mathfrak{p}$ の外で付値 $0$ です。$r_1 = 0$、$r_2 = 1$、$|S_f| = 1$ なので公式の階数は $0 + 1 + 1 - 1 = 1$ で、$\mu_K = \{\pm1, \pm i\}$ と合わせて $\mathcal{O}_S^{\times} \cong \mu_4 \times \mathbb{Z}$ に一致します。

2. $\mu_4 = \{\pm1, \pm i\} \subseteq K$ なので $|\mu_4| = 4$。$h_K = 1$（単項イデアル整域）なので 定理 6.2 の証明の $\psi$ は自明で、$K(S,4)$ は $\mathcal{O}_S^{\times}$ の像に等しくなります。$u \in \mathcal{O}_S^{\times}$ が $u = c^4$（$c \in K$）なら、$\mathfrak{p}$ の外で $4v_{\mathfrak{q}}(c) = 0$ なので $c \in \mathcal{O}_S^{\times}$。よって像は $\mathcal{O}_S^{\times}/\mathcal{O}_S^{\times 4} \cong \mu_4/\mu_4^{4} \times \mathbb{Z}/4$ で位数 $4 \cdot 4 = 16$ です。代表元は $i^k(1+i)^m$（$0 \le k, m \le 3$）で、群は $i$ と $1+i$ の類で生成されます。定理 6.4 より、求める拡大はすべて $L_S = K(\sqrt[4]{\Delta_S}) = K(\sqrt[4]{i}, \sqrt[4]{1+i})$ に含まれ、$[L_S:K] = 16$ です。

参考文献

1. J. Neukirch, Algebraic Number Theory, Springer, 1999 — 第 I 章（整数環、イデアル類群、単数定理）、第 VII 章 §13（Chebotarev の密度定理）。
2. 高木貞治『代数的整数論 第 2 版』岩波書店、1971 — イデアル論、単数、Kummer 体。
3. S. Lang, Algebra, Revised 3rd ed., Graduate Texts in Mathematics 211, Springer, 2002 — 第 VI 章（Hilbert の定理 90、Kummer 理論）。
4. J. S. Milne, Class Field Theory (course notes), https://www.jmilne.org/math/CourseNotes/cft.html — Kummer 理論と S 単数を使う有限性の議論。
5. H. W. Lenstra Jr. and P. Stevenhagen, “Chebotarëv and his density theorem”, The Mathematical Intelligencer 18 (1996), 26–37.
6. J. H. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics 106, Springer, 2009 — 第 VIII 章 §1（弱 Mordell–Weil 定理）。