自己同型群・ガロア拡大・ガロア群

体の拡大 $L/K$ に対し、

とおきます。写像の合成について $\mathrm{Aut}(L/K)$ は群になります。恒等写像は $K$ を固定し、$\sigma, \tau$ が固定すれば $\sigma \circ \tau$ も固定し、$a = \sigma^{-1}(\sigma(a)) = \sigma^{-1}(a)$ より $\sigma^{-1}$ も固定するからです。

有限次拡大 $L/K$ が、ある $f \in K[X]$ の $K$ 上の最小分解体になっているとき、$L/K$ をガロア拡大といい、$\mathrm{Gal}(L/K) := \mathrm{Aut}(L/K)$ と書いてガロア群と呼びます。また $f \in K[X]$ に対し、$f$ の最小分解体 $L$ についての群 $\mathrm{Gal}(L/K)$ を、$f$ の $K$ 上のガロア群といいます。