数学 › 代数的整数論・類体論 › 円分体と Kronecker–Weber の定理

円分多項式の既約性

定理 2.3（「円分体と Kronecker–Weber の定理」§2）・ ✓公理まで証明済み

$\Phi_n$ は $\mathbb{Q}$ 上既約である。したがって $[\mathbb{Q}(\zeta_n) : \mathbb{Q}] = \varphi(n)$ で、 $\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q}$ は Galois 拡大であり、

(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times} \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q}), \qquad a \longmapsto \sigma_a, \quad \sigma_a(\zeta_n) = \zeta_n^a

は群の同型である。特に円分体は $\mathbb{Q}$ の Abel 拡大で、その部分体もすべて $\mathbb{Q}$ 上 Abel 拡大である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 52 件、定義なども含めて 62 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

代数的整数の最小多項式✓命題 2.4・代数体の整数環と Dedekind 整域
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
    イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
  - PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大
    極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
    素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
    イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 整数環の基本性質✓定理 2.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 加群による整性の判定✓補題 2.2・代数体の整数環と Dedekind 整域
    有限生成アーベル群の基本定理✓系 6.1・加群と PID 上の構造定理この先をたどる →
    正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質この先をたどる →
  - ユークリッドの補題（一般形）✓補題 2.2・整除と素因数分解
    ベズーの等式✓補題 2.4・素数の魅力と素数定理この先をたどる →
円分多項式は整数係数✓補題 2.2・円分体と Kronecker–Weber の定理
フロベニウス写像✓補題 7.1・多項式環と体の拡大
自己同型群・ガロア拡大・ガロア群定義 3.1・ガロア理論への招待
ガロア理論の基本定理✓定理 4.1・ガロア理論への招待
- 同型の延長の個数✓補題 7.5・ガロア理論への招待
  - 分離性の判定✓命題 6.11・多項式環と体の拡大
  - 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
  - 次数の連鎖律✓命題 2.3・ガロア理論への招待
- アルティンの定理✓補題 7.7・ガロア理論への招待
  - デデキントの補題（指標の一次独立性）✓補題 7.6・ガロア理論への招待
- 次数の連鎖律✓命題 2.3・ガロア理論への招待
- 自己同型は根を置換する✓補題 3.2・ガロア理論への招待
  - ラグランジュの定理✓定理 6.1・部分群と剰余類
    左剰余類の基本性質✓補題 5.2・部分群と剰余類この先をたどる →
- 準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・群の準同型定理
  - 核と像の基本性質✓命題 4.2・群の準同型定理
    準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理（上で展開済み）
  - ファイバーは核の左剰余類✓補題 4.3・群の準同型定理
    準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理（上で展開済み）
  - 群準同型写像定義 3.1・群の準同型定理
  - 単射性の判定✓命題 4.4・群の準同型定理
    準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理（上で展開済み）
    ファイバーは核の左剰余類✓補題 4.3・群の準同型定理（上で展開済み）
  - 準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理
    群準同型写像定義 3.1・群の準同型定理
  - 同型写像と同型定義 3.2・群の準同型定理

これを使っている定理証明で参照している 3 件

Q 上の相互法則と存在定理✓定理 7.6・類体論
素数冪の円分体✓定理 3.3・円分体と Kronecker–Weber の定理
二次体の指標✓補題 8.1・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数

円分多項式の既約性

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

関連するノック 4 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

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