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Q 上の相互法則と存在定理

定理 7.6（「類体論」§7） ・ ✓公理まで証明済み

  1. m≥1m \ge 1、m=(m)∞\mathfrak{m} = (m)\infty とする。ArtQ(ζm)/Q:Im→Gal(Q(ζm)/Q)\mathrm{Art}_{\mathbb{Q}(\zeta_m)/\mathbb{Q}} : I^{\mathfrak{m}} \to \mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_m)/\mathbb{Q}) は、mm と素な正の整数 aa のイデアル (a)(a) を σa:ζm↦ζma\sigma_a : \zeta_m \mapsto \zeta_m^a に写し、核は PmP_{\mathfrak{m}} である。したがって Cl(m)∞(Q)≅Gal(Q(ζm)/Q)\mathrm{Cl}_{(m)\infty}(\mathbb{Q}) \cong \mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_m)/\mathbb{Q}) である。
  2. L/QL/\mathbb{Q} を有限次 Abel 拡大とする。L⊆Q(ζm)L \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_m) となる mm が存在し、そのような任意の mm と m=(m)∞\mathfrak{m} = (m)\infty について、ArtL/Q:Im→Gal(L/Q)\mathrm{Art}_{L/\mathbb{Q}} : I^{\mathfrak{m}} \to \mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q}) は全射で、核は
PmNL/Q(ILm)={(a)∣a∈Q>0 は m と素, σa∣L=1}P_{\mathfrak{m}}N_{L/\mathbb{Q}}(I_L^{\mathfrak{m}}) = \{(a) \mid a \in \mathbb{Q}_{\gt 0}\ \text{は } m \text{ と素},\ \sigma_a|_L = 1\}

である。また CQ/NL/QCL≅Gal(L/Q)C_{\mathbb{Q}}/N_{L/\mathbb{Q}}C_L \cong \mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q}) である。 3. 対応 L↦NL/QCLL \mapsto N_{L/\mathbb{Q}}C_L は、C\mathbb{C} に含まれる Q\mathbb{Q} の有限次 Abel 拡大の全体から CQC_{\mathbb{Q}} の開部分群の全体への、包含関係を逆にする全単射である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 440 件、定義なども含めて 485 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 11 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。