数学 › 代数的整数論・類体論 › Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数

ノルム群の指数の上界（第 2 不等式）

定理 9.4（「Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数」§9）・ ✓公理まで証明済み

$L/K$ を代数体の $N$ 次 Galois 拡大、 $\mathfrak{m}$ を $K$ のモジュラスとする。 $I_L^{\mathfrak{m}}$ を、 $\mathfrak{m}_0\mathcal{O}_L$ と素な $L$ の分数イデアルの群とし、 $H := P_{\mathfrak{m}}\cdot N_{L/K}(I_L^{\mathfrak{m}}) \subseteq I^{\mathfrak{m}}$ とおく。このとき

[I^{\mathfrak{m}} : H] \le [L : K]

である。さらに、 $I^{\mathfrak{m}}/H$ の自明でないすべての指標 $\chi$ について $L(1, \chi) \ne 0$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 353 件、定義なども含めて 395 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

イデアルの相対ノルム定義 7.1・分解群・惰性群・Frobenius 元
完全分解する素イデアルの密度✓定理 9.1・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
- Galois 群は上にある素イデアルに推移的に作用する✓補題 3.1・分解群・惰性群・Frobenius 元
  - 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域
    環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - ガロア理論の基本定理✓定理 4.1・ガロア理論への招待
    同型の延長の個数✓補題 7.5・ガロア理論への招待この先をたどる →
    アルティンの定理✓補題 7.7・ガロア理論への招待この先をたどる →
    次数の連鎖律✓命題 2.3・ガロア理論への招待
    自己同型は根を置換する✓補題 3.2・ガロア理論への招待この先をたどる →
    準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・群の準同型定理この先をたどる →
  - 設定から従う基本事実✓補題 2.1・分解群・惰性群・Frobenius 元
    Dedekind 環の整閉包は Dedekind✓系 7.3・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
    分離拡大での整閉包の有限性✓命題 6.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
    整拡大と極大イデアル✓系 4.2・整拡大この先をたどる →
    一般の Dedekind 環での基本等式✓定理 8.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
    整閉包は環・整性の推移性✓系 2.4・整拡大この先をたどる →
- 分岐する素数は判別式を割る✓定理 6.1・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域
    イデアルの素イデアル分解✓定理 4.5・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
    素イデアルの逆✓補題 4.4・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - トレースとノルムの性質✓命題 3.3・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質この先をたどる →
- 素イデアルのノルムの逆数和✓補題 6.2・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
  - Euler 積と対数✓補題 3.4・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数（上で展開済み）
  - 解析的類数公式✓定理 5.3・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数この先をたどる →
射線類指標の L 関数と素イデアルの密度✓命題 6.4・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
- Dedekind ゼータ関数の Euler 積と s = 1 の極✓定理 5.2・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
  - Euler 積と対数✓補題 3.4・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数（上で展開済み）
  - 射線類ごとの整イデアルの個数✓系 4.6・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数この先をたどる →
  - 部分和の評価と収束半平面✓補題 2.1・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数この先をたどる →
  - 類数の有限性✓定理 4.3・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界この先をたどる →
- 指標の直交関係✓補題 3.1・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
  - 有限アーベル群の双対✓補題 5.3・S 単数と Kummer 理論
    有限生成アーベル群の基本定理✓系 6.1・加群と PID 上の構造定理この先をたどる →
- Euler 積と対数✓補題 3.4・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
  - 基本等式✓定理 5.4・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - オイラー積表示✓定理 3.1・リーマン予想とは何かこの先をたどる →
  - イデアルの素イデアル分解✓定理 4.5・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - イデアルのノルムの性質✓命題 5.3・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
- 一致の定理✓定理 7.3・正則関数の強力な性質
  - 零点の孤立性✓補題 7.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
  - 正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質この先をたどる →
  - テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
- テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質
  - 一様収束する級数の項別積分✓補題 2.2・正則関数の強力な性質
  - コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
  - コーシーの評価式✓命題 4.1・正則関数の強力な性質この先をたどる →
- 素イデアルのノルムの逆数和✓補題 6.2・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数（上で展開済み）
- 零点が無ければ対数は有界✓補題 6.3・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数

これを使っている定理証明で参照している 3 件

第 2 不等式✓定理 6.4・類体論
Q 上の相互法則と存在定理✓定理 7.6・類体論
Chebotarev の密度定理△定理 8.6・類体論

ノルム群の指数の上界（第 2 不等式）

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 3 件