指標の直交関係

補題 3.1（「Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数」§3）・ ✓公理まで証明済み

$G$ を有限 Abel 群とする。

$|\widehat{G}| = |G|$ であり、 $g \ne 1$ ならば $\chi(g) \ne 1$ となる $\chi \in \widehat{G}$ がある。
$\chi \in \widehat{G}$ について、 $\sum_{g \in G}\chi(g)$ は $\chi = \chi_0$ のとき $|G|$ 、それ以外のとき $0$ である。
$g \in G$ について、 $\sum_{\chi \in \widehat{G}}\chi(g)$ は $g = 1$ のとき $|G|$ 、それ以外のとき $0$ である。
$g \in G$ の位数を $f$ とすると、 $\chi$ が $\widehat{G}$ を動くとき、 $\chi(g)$ は 1 の $f$ 乗根のそれぞれを、ちょうど $|G|/f$ 回ずつ取る。したがって不定元 $T$ について $\prod_{\chi \in \widehat{G}}(1 - \chi(g)T) = (1 - T^f)^{|G|/f}$ である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 15 件、定義なども含めて 18 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。