数学 › 代数的整数論・類体論 › Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数

円分体のゼータ関数の分解

定理 7.1（「Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数」§7）・ ✓公理まで証明済み

$m \ge 1$ 、 $K = \mathbb{Q}(\zeta_m)$ とする。 $\mathrm{Re}\,s \gt 1$ で

\prod_{\mathfrak{p} \nmid m}\bigl(1 - N\mathfrak{p}^{-s}\bigr)^{-1} = \prod_{\chi}L(s, \chi)

が成り立つ。左辺は $m$ を割らない $K$ の素イデアルにわたる積、右辺は $m$ を法とする Dirichlet 指標すべてにわたる積である。したがって $\zeta_K(s) = \prod_{\mathfrak{p} \mid m}(1 - N\mathfrak{p}^{-s})^{-1}\cdot\prod_\chi L(s, \chi)$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 267 件、定義なども含めて 296 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

円分体での素数の分解✓定理 4.3・円分体と Kronecker–Weber の定理
- 円分体の整数環✓定理 4.2・円分体と Kronecker–Weber の定理
  - 円分多項式は整数係数✓補題 2.2・円分体と Kronecker–Weber の定理
  - Dedekind の巡回型定理✓定理 5.3・分解群・惰性群・Frobenius 元この先をたどる →
  - 判別式を割る素数は分岐する✓定理 6.3・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 素数冪の円分体✓定理 3.3・円分体と Kronecker–Weber の定理（上で展開済み）
  - オイラー関数の乗法性と公式✓定理 7.3・整除と素因数分解この先をたどる →
  - 判別式が互いに素な体の合成✓補題 4.1・円分体と Kronecker–Weber の定理この先をたどる →
- 円分多項式は整数係数✓補題 2.2・円分体と Kronecker–Weber の定理
- Frobenius 元の性質✓命題 5.2・分解群・惰性群・Frobenius 元
  - 有限体の拡大の自己同型群✓補題 3.3・分解群・惰性群・Frobenius 元この先をたどる →
  - Galois 群は上にある素イデアルに推移的に作用する✓補題 3.1・分解群・惰性群・Frobenius 元この先をたどる →
  - 分岐指数と剰余次数は塔で乗法的✓補題 2.2・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）
  - 中間体での完全分解・不分岐の判定✓系 4.2・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）
- 素数冪の円分体✓定理 3.3・円分体と Kronecker–Weber の定理
  - 基本等式✓定理 5.4・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
  - 円分多項式の既約性✓定理 2.3・円分体と Kronecker–Weber の定理この先をたどる →
  - 円分多項式は整数係数✓補題 2.2・円分体と Kronecker–Weber の定理
  - Dedekind の巡回型定理✓定理 5.3・分解群・惰性群・Frobenius 元この先をたどる →
  - 局所的に等しければ等しい✓補題 3.2・円分体と Kronecker–Weber の定理
  - 完全分岐なら素元で生成される✓補題 9.2・分解群・惰性群・Frobenius 元この先をたどる →
  - 微分が単元なら単生成✓補題 3.1・円分体と Kronecker–Weber の定理この先をたどる →
  - 判別式は共役差積のノルム✓命題 8.5・分解群・惰性群・Frobenius 元この先をたどる →
  - Euler の補題と単生成の場合の共役差積✓命題 8.6・分解群・惰性群・Frobenius 元この先をたどる →
- 分岐指数と剰余次数は塔で乗法的✓補題 2.2・分解群・惰性群・Frobenius 元
  - 次数の連鎖律✓命題 2.3・ガロア理論への招待
  - 設定から従う基本事実✓補題 2.1・分解群・惰性群・Frobenius 元この先をたどる →
  - イデアルの素イデアル分解✓定理 4.5・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
- 中間体での完全分解・不分岐の判定✓系 4.2・分解群・惰性群・Frobenius 元
  - 分解群の完全列✓定理 3.4・分解群・惰性群・Frobenius 元この先をたどる →
  - 分岐指数と剰余次数は塔で乗法的✓補題 2.2・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）
  - ガロア理論の基本定理✓定理 4.1・ガロア理論への招待この先をたどる →
  - 横たわり定理✓定理 4.4・整拡大この先をたどる →
  - Galois 群は上にある素イデアルに推移的に作用する✓補題 3.1・分解群・惰性群・Frobenius 元この先をたどる →
指標の直交関係✓補題 3.1・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
- 有限アーベル群の双対✓補題 5.3・S 単数と Kummer 理論
  - 有限生成アーベル群の基本定理✓系 6.1・加群と PID 上の構造定理この先をたどる →
Euler 積と対数✓補題 3.4・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
- 基本等式✓定理 5.4・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - イデアルのノルムの性質✓命題 5.3・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
- オイラー積表示✓定理 3.1・リーマン予想とは何か
  - 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定この先をたどる →
  - 算術の基本定理✓定理 4.2・素数の魅力と素数定理この先をたどる →
- イデアルの素イデアル分解✓定理 4.5・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
- イデアルのノルムの性質✓命題 5.3・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
Dirichlet の L 関数の Euler 積と接続✓定理 3.5・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
- Euler 積と対数✓補題 3.4・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数（上で展開済み）
- Dirichlet 指標の直交関係✓命題 3.3・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数この先をたどる →
- 部分和の評価と収束半平面✓補題 2.1・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数この先をたどる →
- ゼータ関数の有理型接続と単純極✓定理 4.3・リーマン予想とは何かこの先をたどる →

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L(1, χ) ≠ 0✓定理 7.2・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数

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