数学 › 代数的整数論・類体論 › Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数

Euler 積と対数

補題 3.4（「Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数」§3） ・ ✓公理まで証明済み

χ:Im→C×\chi : I^{\mathfrak{m}} \to \mathbb{C}^{\times} を、値の絶対値がすべて 11 の準同型とする。Re s>1\mathrm{Re}\,s \gt 1 のとき、m0\mathfrak{m}_0 と素な整イデアル a\mathfrak{a} にわたる級数

L(s,χ):=∑aχ(a)NasL(s, \chi) := \sum_{\mathfrak{a}}\frac{\chi(\mathfrak{a})}{N\mathfrak{a}^{s}}

は絶対収束し、m0\mathfrak{m}_0 を割らない素イデアルにわたる積により

L(s,χ)=∏p(1−χ(p)Np−s)−1L(s, \chi) = \prod_{\mathfrak{p}}\bigl(1 - \chi(\mathfrak{p})N\mathfrak{p}^{-s}\bigr)^{-1}

と書ける（右辺は Np≤yN\mathfrak{p} \le y の積の y→∞y \to \infty での極限）。さらに

ℓ(s,χ):=∑p∑k≥1χ(p)kk Npks\ell(s, \chi) := \sum_{\mathfrak{p}}\sum_{k \ge 1}\frac{\chi(\mathfrak{p})^k}{k\,N\mathfrak{p}^{ks}}

は絶対収束して exp⁡ℓ(s,χ)=L(s,χ)\exp\ell(s, \chi) = L(s, \chi) を満たす。特に L(s,χ)≠0L(s, \chi) \ne 0 である。実数 s>1s \gt 1 について

∣ℓ(s,χ)−∑pχ(p)Nps∣≤n.\Bigl|\ell(s, \chi) - \sum_{\mathfrak{p}}\frac{\chi(\mathfrak{p})}{N\mathfrak{p}^{s}}\Bigr| \le n .

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 79 件、定義なども含めて 91 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 5 件