数学 › 代数的整数論・類体論 › Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数

Dirichlet の L 関数の Euler 積と接続

定理 3.5（「Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数」§3）・ ✓公理まで証明済み

$\chi$ を $m$ を法とする Dirichlet 指標とする。

$\mathrm{Re}\,s \gt 1$ で $L(s, \chi) = \sum_{a \ge 1}\chi(a)a^{-s} = \prod_p(1 - \chi(p)p^{-s})^{-1} \ne 0$ である。
$\chi \ne \chi_0$ ならば、級数は $\mathrm{Re}\,s \gt 0$ で収束して正則関数を定める。特に $L(1, \chi) = \sum_{a \ge 1}\chi(a)/a$ は収束する。
$L(s, \chi_0) = \zeta(s)\prod_{p \mid m}(1 - p^{-s})$ であり、 $\mathrm{Re}\,s \gt 0$ に有理型に延びて、 $s = 1$ に 1 位の極をもつ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 107 件、定義なども含めて 126 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Euler 積と対数✓補題 3.4・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
- 基本等式✓定理 5.4・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - イデアルのノルムの性質✓命題 5.3・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
- オイラー積表示✓定理 3.1・リーマン予想とは何か
  - 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定
    正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定この先をたどる →
    数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
    複素数の数列・級数の基本性質✓補題 7.8・級数と収束判定この先をたどる →
    ディリクレの定理（絶対収束する級数の並べ替え）✓定理 7.10・級数と収束判定この先をたどる →
    比較判定法✓定理 4.2・級数と収束判定この先をたどる →
  - 算術の基本定理✓定理 4.2・素数の魅力と素数定理
    完全帰納法✓定理 4.3・証明の技術この先をたどる →
    素数と合成数定義 2.2・素数の魅力と素数定理
    ユークリッドの補題✓補題 4.1・素数の魅力と素数定理この先をたどる →
- イデアルの素イデアル分解✓定理 4.5・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 素イデアルの逆✓補題 4.4・代数体の整数環と Dedekind 整域
    素イデアルの積を含む✓補題 4.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
    加群による整性の判定✓補題 2.2・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
- イデアルのノルムの性質✓命題 5.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域
    イデアルの素イデアル分解✓定理 4.5・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
    素イデアルの逆✓補題 4.4・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
  - 位数の分解✓系 5.2・群の準同型定理
    準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・群の準同型定理この先をたどる →
    核と像の基本性質✓命題 4.2・群の準同型定理この先をたどる →
  - 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域
    環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 整基底の存在と判別式✓定理 3.4・代数体の整数環と Dedekind 整域
    整数環の基本性質✓定理 2.3・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
    トレースとノルムの性質✓命題 3.3・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
    自由加群の部分加群は自由✓定理 3.1・加群と PID 上の構造定理
    スミス標準形✓定理 4.1・加群と PID 上の構造定理
  - 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類
    元の位数と巡回部分群の大きさ✓命題 4.2・部分群と剰余類
    生成される巡回部分群と元の位数定義 4.1・部分群と剰余類
    ラグランジュの定理✓定理 6.1・部分群と剰余類この先をたどる →
Dirichlet 指標の直交関係✓命題 3.3・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
- 指標の直交関係✓補題 3.1・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
  - 有限アーベル群の双対✓補題 5.3・S 単数と Kummer 理論
    有限生成アーベル群の基本定理✓系 6.1・加群と PID 上の構造定理この先をたどる →
部分和の評価と収束半平面✓補題 2.1・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
- ワイエルシュトラスの収束定理✓定理 5.2・偏角の原理と Rouché の定理
  - グルサの定理（三角形版）✓定理 4.5・コーシーの積分定理と積分公式この先をたどる →
  - ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
  - モレラの定理✓定理 3.6・正則関数の強力な性質この先をたどる →
  - コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
- ゼータ関数の有理型接続と単純極✓定理 4.3・リーマン予想とは何か（上で展開済み）
ゼータ関数の有理型接続と単純極✓定理 4.3・リーマン予想とは何か
- ディリクレのエータ関数✓補題 4.2・リーマン予想とは何か
- 解析接続定義 4.1・リーマン予想とは何か

これを使っている定理証明で参照している 4 件

円分体のゼータ関数の分解✓定理 7.1・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
L(1, χ) ≠ 0✓定理 7.2・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
奇指標の L(1, χ) の有限和表示✓補題 8.2・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
二次体の類数公式✓系 8.3・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数

Dirichlet の L 関数の Euler 積と接続

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 4 件