数学 › 代数的整数論・類体論 › Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数

部分和の評価と収束半平面

補題 2.1（「Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数」§2）・ ✓公理まで証明済み

$A(x) := \sum_{m \le x}a_m$ とおく。

定数 $C \gt 0$ 、 $a \ge 0$ があって、すべての $x \ge 1$ で $|A(x)| \le Cx^{a}$ ならば、 $\sum a_mm^{-s}$ は $\mathrm{Re}\,s \gt a$ で収束し、収束は $\mathrm{Re}\,s \gt a$ のコンパクト集合の上で一様である。したがって和は $\mathrm{Re}\,s \gt a$ で正則である。
定数 $\kappa \in \mathbb{C}$ 、 $0 \le b \lt 1$ があって $A(x) = \kappa x + O(x^{b})$ （ $x \ge 1$ ）ならば、 $f(s) = \sum a_mm^{-s}$ は $\mathrm{Re}\,s \gt 1$ で収束し、 $f(s) - \kappa\zeta(s)$ は $\mathrm{Re}\,s \gt b$ の正則関数に延びる。したがって $f$ は $\mathrm{Re}\,s \gt b$ の有理型関数に延び、 $\kappa \ne 0$ なら $s = 1$ に 1 位の極をもち、 $\lim_{s \to 1}(s - 1)f(s) = \kappa$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 23 件、定義なども含めて 30 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ワイエルシュトラスの収束定理✓定理 5.2・偏角の原理と Rouché の定理
- グルサの定理（三角形版）✓定理 4.5・コーシーの積分定理と積分公式
  - 複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式
    複素線積分定義 2.2・コーシーの積分定理と積分公式
  - 複素線積分に対する微積分の基本定理✓定理 3.2・コーシーの積分定理と積分公式
    微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
    複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式（上で展開済み）
  - ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
- ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
- モレラの定理✓定理 3.6・正則関数の強力な性質
  - 正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質
    コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
- コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質
  - コーシー型積分の微分✓補題 3.1・正則関数の強力な性質
ゼータ関数の有理型接続と単純極✓定理 4.3・リーマン予想とは何か
- ディリクレのエータ関数✓補題 4.2・リーマン予想とは何か
- 解析接続定義 4.1・リーマン予想とは何か

これを使っている定理証明で参照している 2 件

Dirichlet の L 関数の Euler 積と接続✓定理 3.5・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
Dedekind ゼータ関数の Euler 積と s = 1 の極✓定理 5.2・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数

部分和の評価と収束半平面

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件