数学 › 代数的整数論・類体論 › Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数

二次体の類数公式

系 8.3（「Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数」§8）・ ✓公理まで証明済み

$K$ を判別式 $d$ の二次体、 $\chi_d$ を補題 8.1 の指標とする。

$\mathrm{Re}\,s \gt 1$ で $\zeta_K(s) = \zeta(s)L(s, \chi_d)$ である。
$d \lt 0$ のとき $h_K = \dfrac{w_K\sqrt{|d|}}{2\pi}L(1, \chi_d)$ 。 $d \gt 0$ のとき、 $\varepsilon \gt 1$ を基本単数として $h_K\log\varepsilon = \dfrac{\sqrt d}{2}L(1, \chi_d)$ 。
$d \lt 0$ のとき

h_K = \frac{w_K}{4\sqrt{|d|}}\sum_{a = 1}^{|d| - 1}\chi_d(a)\cot\frac{\pi a}{|d|}.

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 424 件、定義なども含めて 471 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Dedekind ゼータ関数の Euler 積と s = 1 の極✓定理 5.2・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
- Euler 積と対数✓補題 3.4・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
  - 基本等式✓定理 5.4・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - オイラー積表示✓定理 3.1・リーマン予想とは何かこの先をたどる →
  - イデアルの素イデアル分解✓定理 4.5・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - イデアルのノルムの性質✓命題 5.3・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
- 射線類ごとの整イデアルの個数✓系 4.6・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
  - 射線類群のイデールによる表示と有限性✓定理 7.2・アデールとイデールこの先をたどる →
  - Q のイデール類群✓命題 7.4・アデールとイデールこの先をたどる →
  - 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 単数の作用の基本錐✓補題 4.4・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数この先をたどる →
  - Lipschitz な境界をもつ領域の格子点✓補題 4.1・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数この先をたどる →
  - 単数規準の基本性質✓補題 4.3・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
- 部分和の評価と収束半平面✓補題 2.1・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
  - ワイエルシュトラスの収束定理✓定理 5.2・偏角の原理と Rouché の定理この先をたどる →
  - ゼータ関数の有理型接続と単純極✓定理 4.3・リーマン予想とは何か（上で展開済み）
- 類数の有限性✓定理 4.3・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界
  - 分数イデアル定義 4.6・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - Minkowski 限界✓定理 4.2・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界この先をたどる →
  - 分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - イデアルのノルムの性質✓命題 5.3・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
Dirichlet の L 関数の Euler 積と接続✓定理 3.5・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
- Euler 積と対数✓補題 3.4・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数（上で展開済み）
- Dirichlet 指標の直交関係✓命題 3.3・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
  - 指標の直交関係✓補題 3.1・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数この先をたどる →
- 部分和の評価と収束半平面✓補題 2.1・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数（上で展開済み）
- ゼータ関数の有理型接続と単純極✓定理 4.3・リーマン予想とは何か
  - ディリクレのエータ関数✓補題 4.2・リーマン予想とは何か
  - 解析接続定義 4.1・リーマン予想とは何か
解析的類数公式✓定理 5.3・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
- Dedekind ゼータ関数の Euler 積と s = 1 の極✓定理 5.2・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数（上で展開済み）
- ゼータ関数の有理型接続と単純極✓定理 4.3・リーマン予想とは何か（上で展開済み）
- イデアル類ごとの整イデアルの個数✓定理 4.5・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
  - イデアルのノルムの性質✓命題 5.3・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 単数の作用の基本錐✓補題 4.4・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数この先をたどる →
  - 整イデアルの余体積✓命題 3.2・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界この先をたどる →
  - Lipschitz な境界をもつ領域の格子点✓補題 4.1・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数この先をたどる →
二次体の指標✓補題 8.1・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
- 二次体の整数環と判別式✓命題 8.1・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 代数的整数の最小多項式✓命題 2.4・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 整数環の基本性質✓定理 2.3・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - トレースとノルムの性質✓命題 3.3・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
- Gauss 和の平方✓定理 5.2・円分体と Kronecker–Weber の定理この先をたどる →
- 円分多項式の既約性✓定理 2.3・円分体と Kronecker–Weber の定理この先をたどる →
- 円分体での素数の分解✓定理 4.3・円分体と Kronecker–Weber の定理この先をたどる →
- Frobenius 元の性質✓命題 5.2・分解群・惰性群・Frobenius 元この先をたどる →
- 二次体での素数の分解✓命題 8.2・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
奇指標の L(1, χ) の有限和表示✓補題 8.2・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
- Dirichlet の L 関数の Euler 積と接続✓定理 3.5・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数（上で展開済み）
- cot の部分分数展開✓命題 5.3・整関数とガンマ関数この先をたどる →

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

二次体の類数公式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）