数学 › 代数的整数論・類体論 › Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数

射線類ごとの整イデアルの個数

系 4.6（「Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数」§4）・ ✓公理まで証明済み

$\mathfrak{m}$ を $K$ のモジュラス、 $\mathfrak{K} \in \mathrm{Cl}_{\mathfrak{m}}(K)$ を射線類とする。 $\mathfrak{K}$ に属しノルムが $x$ 以下の整イデアルの個数は

\kappa_{\mathfrak{m}}x + O\bigl(x^{1 - 1/n}\bigr), \qquad \kappa_{\mathfrak{m}} = \frac{2^{r_1 - |\mathfrak{m}_\infty|}(2\pi)^{r_2}R_E}{w_E\sqrt{|d_K|}\,N\mathfrak{m}_0} \gt 0

である。ここで $E = \mathcal{O}_{\mathfrak{m},1}^{\times} = \{u \in \mathcal{O}_K^{\times} \mid u \equiv 1 \bmod^{\times}\mathfrak{m}\}$ である。 $\kappa_{\mathfrak{m}}$ は射線類 $\mathfrak{K}$ によらない。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 165 件、定義なども含めて 190 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

射線類群のイデールによる表示と有限性✓定理 7.2・アデールとイデール
- 弱近似定理（Artin–Whaples）✓定理 3.2・付値と完備化
  - 同値の判定✓命題 2.5・付値と完備化
- イデールとイデアル類群✓定理 6.1・アデールとイデール
  - 付値✓系 4.8・代数体の整数環と Dedekind 整域
    分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
- 離散付値体の完備化と逆極限✓命題 4.3・付値と完備化
  - 完備化の存在と一意性✓定理 4.2・付値と完備化
    実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
    閉集合と点列、完備部分空間✓命題 2.3・距離空間
    非 Archimedes 性の判定✓命題 2.3・付値と完備化
  - DVR の基本性質✓命題 3.2・離散付値環と Dedekind 環
    付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
    付値と付値環の対応✓命題 2.3・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
- コンパクト性 ⇔ 類数の有限性 + 単数定理✓定理 6.3・アデールとイデール
  - 単数の対数は離散✓補題 6.2・アデールとイデール
    整イデアルの余体積✓命題 3.2・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界この先をたどる →
    基本領域の性質✓補題 2.2・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界（上で展開済み）
  - 離散部分群は自由✓補題 6.2・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界
    自由加群の部分加群は自由✓定理 3.1・加群と PID 上の構造定理
  - 位相群の商群✓命題 7.8・局所コンパクト空間この先をたどる →
  - イデールとイデアル類群✓定理 6.1・アデールとイデール（上で展開済み）
  - コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性
    部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
Q のイデール類群✓命題 7.4・アデールとイデール
- 制限直積は局所コンパクト群✓命題 3.2・アデールとイデール
  - Tychonoff の定理✓定理 6.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理この先をたどる →
中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
単数の作用の基本錐✓補題 4.4・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
- Lipschitz な境界をもつ領域の格子点✓補題 4.1・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数（上で展開済み）
- 単数規準の基本性質✓補題 4.3・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
- 変数変換公式（ルベーグ積分版）✓定理 4.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - 余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質この先をたどる →
  - 最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性この先をたどる →
  - コンパクト距離空間上の連続関数は一様連続✓補題 2.2・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass この先をたどる →
  - 立方体の像の測度✓補題 4.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
  - 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
  - 開集合の 2 進立方体分解✓補題 2.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
Lipschitz な境界をもつ領域の格子点✓補題 4.1・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
- 基本領域の性質✓補題 2.2・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界
  - 線形写像によるルベーグ測度の変換✓定理 3.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
単数規準の基本性質✓補題 4.3・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数

これを使っている定理証明で参照している 1 件

Dedekind ゼータ関数の Euler 積と s = 1 の極✓定理 5.2・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数

射線類ごとの整イデアルの個数

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件