Q のイデール類群

$\widehat{\mathbb{Z}}^{\times} := \prod_p\mathbb{Z}_p^{\times}$（積位相。コンパクト群）とおく。

1. 掛け算は位相群の同型 $\mathbb{Q}^{\times} \times \mathbb{R}_{\gt 0} \times \widehat{\mathbb{Z}}^{\times} \to \mathbb{I}_{\mathbb{Q}}$ を与える（$\mathbb{Q}^{\times}$ は離散位相）。したがって $C_{\mathbb{Q}} \cong \mathbb{R}_{\gt 0} \times \widehat{\mathbb{Z}}^{\times}$、$C_{\mathbb{Q}}^1 \cong \widehat{\mathbb{Z}}^{\times}$ である。
2. $m \ge 1$ とし、$\mathfrak{m} = (m)\infty$ とする。$m$ と素な正の整数 $a$ に対し、$a\mathbb{Z}$ の類を $a \bmod m$ に写す写像は同型 $\mathrm{Cl}_{(m)\infty}(\mathbb{Q}) \cong (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times}$ を与える。$\mathfrak{m} = (m)$ のときは $\mathrm{Cl}_{(m)}(\mathbb{Q}) \cong (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times}/\{\pm 1\}$ である。