数学 › 代数的整数論・類体論 › Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数

単数の作用の基本錐

補題 4.4（「Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数」§4）・ ✓公理まで証明済み

$T$ を実の埋め込みの添字の集合とし、 $E$ のすべての元 $u$ が $\rho_i(u) \gt 0$ （ $i \in T$ ）を満たすとする。

Y := \{x \in V^{\times} \mid 0 \le \xi_k(x) \lt 1\ (1 \le k \le r),\ x_i \gt 0\ (i \in T)\}, \qquad Y_1 := \{x \in Y \mid \mathcal{N}(x) \le 1\}

とおく。

実数 $t \gt 0$ について $tY = Y$ であり、 $\{x \in Y \mid \mathcal{N}(x) \le t^n\} = tY_1$ である。
$\alpha \in K^{\times}$ が $\rho_i(\alpha) \gt 0$ （ $i \in T$ ）を満たすとき、 $j(u\alpha) \in Y$ となる $u \in E$ はちょうど $w_E$ 個ある。
$Y_1$ は有界で、 $\partial Y_1$ は有限個の Lipschitz 写像 $[0, 1]^{n - 1} \to V$ の像で覆われる。
$\mathrm{vol}(Y_1) = 2^{r_1 - |T|}\pi^{r_2}R_E$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 75 件、定義なども含めて 87 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Lipschitz な境界をもつ領域の格子点✓補題 4.1・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
- 基本領域の性質✓補題 2.2・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界
  - 線形写像によるルベーグ測度の変換✓定理 3.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標
    並進不変性✓補題 3.1・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
    並進不変測度の一意性✓補題 3.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
    積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質この先をたどる →
    正則行列は基本行列の積✓補題 3.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
    基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質この先をたどる →
    箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
    直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
単数規準の基本性質✓補題 4.3・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
変数変換公式（ルベーグ積分版）✓定理 4.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標
- 余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質
  - 余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質
    行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質（上で展開済み）
    基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質この先をたどる →
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
  - 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
- 最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性
  - コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性
    部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
  - ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性この先をたどる →
- コンパクト距離空間上の連続関数は一様連続✓補題 2.2・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
  - 距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間
    ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
  - ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
- 立方体の像の測度✓補題 4.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - 最大値ノルムでの平均値不等式✓補題 4.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
  - 線形写像によるルベーグ測度の変換✓定理 3.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
- 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - 区間の外測度✓命題 3.5・可測集合とルベーグ測度この先をたどる →
  - 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
- 開集合の 2 進立方体分解✓補題 2.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
- 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理

これを使っている定理証明で参照している 2 件

イデアル類ごとの整イデアルの個数✓定理 4.5・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
射線類ごとの整イデアルの個数✓系 4.6・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数

単数の作用の基本錐

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件