数学 › 代数的整数論・類体論 › アデールとイデール

射線類群のイデールによる表示と有限性

定理 7.2（「アデールとイデール」§7） ・ ✓公理まで証明済み

m\mathfrak{m} を KK のモジュラスとする。

  1. IK(m):={a∈IK∣v∣m で av∈Um,v}\mathbb{I}_K^{(\mathfrak{m})} := \{a \in \mathbb{I}_K \mid v \mid \mathfrak{m} \text{ で } a_v \in U_{\mathfrak{m},v}\} とおくと、IK=K×⋅IK(m)\mathbb{I}_K = K^{\times}\cdot\mathbb{I}_K^{(\mathfrak{m})} かつ K×∩IK(m)=Km,1K^{\times} \cap \mathbb{I}_K^{(\mathfrak{m})} = K_{\mathfrak{m},1} である。
  2. ψ:IK(m)→Im\psi : \mathbb{I}_K^{(\mathfrak{m})} \to I^{\mathfrak{m}}、a↦∏p∤m0pvp(ap)a \mapsto \prod_{\mathfrak{p} \nmid \mathfrak{m}_0}\mathfrak{p}^{v_{\mathfrak{p}}(a_{\mathfrak{p}})} は全射準同型で核は UmU_{\mathfrak{m}} であり、同型
CK/U‾m=IK/(K×Um)≅Clm(K)C_K/\overline{U}_{\mathfrak{m}} = \mathbb{I}_K/(K^{\times}U_{\mathfrak{m}}) \cong \mathrm{Cl}_{\mathfrak{m}}(K)

を誘導する。 3. Km:={x∈K×∣p∣m0 で vp(x)=0}K_{\mathfrak{m}} := \{x \in K^{\times} \mid \mathfrak{p} \mid \mathfrak{m}_0 \text{ で } v_{\mathfrak{p}}(x) = 0\}、Om,1×:=OK×∩Km,1\mathcal{O}_{\mathfrak{m},1}^{\times} := \mathcal{O}_K^{\times} \cap K_{\mathfrak{m},1} とおくと、列

1→OK×/Om,1×→Km/Km,1→Clm(K)→Cl(K)→11 \to \mathcal{O}_K^{\times}/\mathcal{O}_{\mathfrak{m},1}^{\times} \to K_{\mathfrak{m}}/K_{\mathfrak{m},1} \to \mathrm{Cl}_{\mathfrak{m}}(K) \to \mathrm{Cl}(K) \to 1

は完全で、Km/Km,1≅(OK/m0)××{±1}∣m∞∣K_{\mathfrak{m}}/K_{\mathfrak{m},1} \cong (\mathcal{O}_K/\mathfrak{m}_0)^{\times} \times \{\pm 1\}^{|\mathfrak{m}_\infty|} である。したがって Clm(K)\mathrm{Cl}_{\mathfrak{m}}(K) は有限群で、位数は

hm=hK⋅∣(OK/m0)×∣⋅2∣m∞∣[OK×:Om,1×].h_{\mathfrak{m}} = h_K\cdot\frac{|(\mathcal{O}_K/\mathfrak{m}_0)^{\times}|\cdot 2^{|\mathfrak{m}_\infty|}}{[\mathcal{O}_K^{\times} : \mathcal{O}_{\mathfrak{m},1}^{\times}]} .

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 129 件、定義なども含めて 148 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

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