数学 › 代数的整数論・類体論 › アデールとイデール

コンパクト性 ⇔ 類数の有限性 + 単数定理

定理 6.3（「アデールとイデール」§6） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 113 件、定義なども含めて 130 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 単数の対数は離散✓補題 6.2・アデールとイデール

  • 整イデアルの余体積✓命題 3.2・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界

    • 整基底の存在と判別式✓定理 3.4・代数体の整数環と Dedekind 整域

      • 整数環の基本性質✓定理 2.3・代数体の整数環と Dedekind 整域 この先をたどる →
      • トレースとノルムの性質✓命題 3.3・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
      • 自由加群の部分加群は自由✓定理 3.1・加群と PID 上の構造定理
      • スミス標準形✓定理 4.1・加群と PID 上の構造定理
    • トレースとノルムの性質✓命題 3.3・代数体の整数環と Dedekind 整域

      • 埋め込みの個数✓補題 3.1・代数体の整数環と Dedekind 整域 この先をたどる →
      • 代数的整数の最小多項式✓命題 2.4・代数体の整数環と Dedekind 整域 この先をたどる →
      • 整数環の基本性質✓定理 2.3・代数体の整数環と Dedekind 整域 この先をたどる →
      • 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質 この先をたどる →
      • 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質 この先をたどる →
      • 正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質 この先をたどる →
      • 相似不変量✓命題 2.2・対角化とジョルダン標準形 この先をたどる →
    • 基本領域の性質✓補題 2.2・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界（上で展開済み）
    • 自由加群の部分加群は自由✓定理 3.1・加群と PID 上の構造定理
    • イデアルのノルムの性質✓命題 5.3・代数体の整数環と Dedekind 整域

      • 分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
      • 位数の分解✓系 5.2・群の準同型定理 この先をたどる →
      • 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域 この先をたどる →
      • 整基底の存在と判別式✓定理 3.4・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
      • 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類 この先をたどる →
  • 基本領域の性質✓補題 2.2・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界

    • 線形写像によるルベーグ測度の変換✓定理 3.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標

      • 並進不変性✓補題 3.1・ℝ^d の変数変換公式と極座標 この先をたどる →
      • 並進不変測度の一意性✓補題 3.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標 この先をたどる →
      • 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質 この先をたどる →
      • 正則行列は基本行列の積✓補題 3.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標 この先をたどる →
      • 基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質 この先をたどる →
      • 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標 この先をたどる →
      • 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
• 離散部分群は自由✓補題 6.2・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界

  • 自由加群の部分加群は自由✓定理 3.1・加群と PID 上の構造定理
• 位相群の商群✓命題 7.8・局所コンパクト空間

  • 開写像・閉写像は商写像✓命題 4.3・積位相・商位相と Tychonoff の定理
  • 商位相の普遍性✓定理 4.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理
  • ハウスドルフ性の判定✓命題 7.5・局所コンパクト空間

    • 命題 3.2✓分離公理と距離づけ可能性

      • T0・T1・T2定義 3.1・分離公理と距離づけ可能性
• イデールとイデアル類群✓定理 6.1・アデールとイデール

  • 付値✓系 4.8・代数体の整数環と Dedekind 整域

    • 分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域

      • イデアルの素イデアル分解✓定理 4.5・代数体の整数環と Dedekind 整域 この先をたどる →
      • 素イデアルの逆✓補題 4.4・代数体の整数環と Dedekind 整域 この先をたどる →
• コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性

  • 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

• 射線類群のイデールによる表示と有限性✓定理 7.2・アデールとイデール