二次体での素数の分解

命題 8.2（「代数体の整数環と Dedekind 整域」§8）・ ✓公理まで証明済み

$K = \mathbb{Q}(\sqrt m)$ と素数 $p$ について次が成り立つ。

$p \mid d_K$ ならば $p\mathcal{O}_K = \mathfrak{P}^2$ （分岐）。
$p$ が奇素数で $p \nmid m$ のとき、 $\left(\frac mp\right) = 1$ なら $p\mathcal{O}_K = \mathfrak{P}\mathfrak{P}'$ （ $\mathfrak{P} \neq \mathfrak{P}'$ 、 $f = 1$ ：分解）、 $\left(\frac mp\right) = -1$ なら $p\mathcal{O}_K$ は素イデアル（ $f = 2$ ：惰性）。
$m \equiv 1 \pmod 4$ のとき、 $2$ は $m \equiv 1 \pmod 8$ なら分解し、 $m \equiv 5 \pmod 8$ なら惰性である。

特に、 $p$ が分岐することと $p \mid d_K$ は同値である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 62 件、定義なども含めて 73 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

二次体の整数環と判別式✓命題 8.1・代数体の整数環と Dedekind 整域
- 代数的整数の最小多項式✓命題 2.4・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大
    環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
    PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
    極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 整数環の基本性質✓定理 2.3・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
- 整数環の基本性質✓定理 2.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 加群による整性の判定✓補題 2.2・代数体の整数環と Dedekind 整域
    有限生成アーベル群の基本定理✓系 6.1・加群と PID 上の構造定理この先をたどる →
    正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質（上で展開済み）
  - ユークリッドの補題（一般形）✓補題 2.2・整除と素因数分解
    ベズーの等式✓補題 2.4・素数の魅力と素数定理この先をたどる →
- トレースとノルムの性質✓命題 3.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 埋め込みの個数✓補題 3.1・代数体の整数環と Dedekind 整域
    同型の延長の個数✓補題 7.5・ガロア理論への招待この先をたどる →
    次数の連鎖律✓命題 2.3・ガロア理論への招待
    分離性の判定✓命題 6.11・多項式環と体の拡大
  - 代数的整数の最小多項式✓命題 2.4・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
  - 整数環の基本性質✓定理 2.3・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
  - 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質
    行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質この先をたどる →
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
  - 正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質
    余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質この先をたどる →
    線形独立・生成系・基底定義 5.1・ベクトル空間と線形変換
    有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
    積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質（上で展開済み）
  - 相似不変量✓命題 2.2・対角化とジョルダン標準形
    積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質（上で展開済み）
Kummer–Dedekind の判定法✓定理 7.1・代数体の整数環と Dedekind 整域
- 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類
  - 元の位数と巡回部分群の大きさ✓命題 4.2・部分群と剰余類
  - 生成される巡回部分群と元の位数定義 4.1・部分群と剰余類
  - ラグランジュの定理✓定理 6.1・部分群と剰余類
    左剰余類の基本性質✓補題 5.2・部分群と剰余類この先をたどる →
- PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
    イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - イデアルの素イデアル分解✓定理 4.5・代数体の整数環と Dedekind 整域
    素イデアルの逆✓補題 4.4・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 素イデアルの逆✓補題 4.4・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
- 基本等式✓定理 5.4・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - イデアルのノルムの性質✓命題 5.3・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
ルジャンドル記号定義 3.2・原始根と平方剰余の相互法則

これを使っている定理証明で参照している 4 件

p = x² + ny² と Hilbert 類体△系 8.3・類体論
相互法則の円分体による証明✓命題 5.4・円分体と Kronecker–Weber の定理
二次体の指標✓補題 8.1・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
素数の ℤ[ω] での分解✓補題 2.3・リーマン予想 III

二次体での素数の分解

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

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関連するノック 3 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

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